Lý thuyết, các dạng toán và bài tập bất đẳng thức và bất phương trình

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§1. BẤT ĐẲNG THỨC

I. Tóm tắt lí thuyết

1. Các khái niệm

Khái niệm (Bất đẳng thức). Cho hai sốthực a,b. Các mệnh đề“a > b”, “a < b”,“a ≥b”, “a ≤b” được gọi là các bất đẳng thức.

Khái niệm (Bất đẳng thức cùng chiều, trái chiều). Cho bốn sốthực a,b,c,d.

Các bất đẳng thức “a > b”, “c > d” được gọi là bất đẳng thức cùng chiều.

Các bất đẳng thức “a > b”, “c < d” được gọi là bất đẳng thức trái chiều.

Khái niệm (Bất đẳng thức hệquả). Nếu mệnh đề“a > b ⇒c > d”đúng thì ta nói bất đẳng thức “c > d” là bất đẳng thức hệquảcủa bất đẳng thức “a > b” và viết a > b ⇒c > d.

Khái niệm (Bất đẳng thức tương đương). Nếu bất đẳng thức “a > b” là hệquảcủa bất đẳng thức “c > d” và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết a > b ⇔c > d.

2. Tính chất

Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung a < b ⇔a+c < b+c Cộng hai vếcủa bất đẳng thức với một số. c > 0 a < b ⇔ac < bc Nhân hai vếcủa bất đẳng thức với một số. c < 0 a < b ⇔ac > bc a < b và c < d ⇒a+c < b+d Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều. a > 0,c > 0 a < b và c < d ⇒ac < bd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều. n ∈N∗ a < b ⇔a2n+1 < b2n+1 Nâng hai vếcủa bất đẳng thức lên một lũy thừa. n ∈N∗và a > 0 a < b ⇔a2n < b2n

a > 0 a < b ⇔√a < √

b Khai căn hai vếcủa một bất đẳng thức. a < b ⇔ 3√a < 3√

b

245

246 CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

II. Các dạng toán

Dạng 1. Sửdụng phép biến đổi tương đương

Đểchứng minh một bất đẳng thức ta có thểsửdụng các cách sau:

+ Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đã biết.

+ Sửdụng một bất đẳng thức đã biết, biến đổi đểdẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh.

Một sốbất đẳng thức thông dụng:

+ a2 ≥0;

+ a2 +b2 ≥0;

+ a·b ≥0, với a,b ≥0;

+ a2 +b2 ≥±2ab.

Ví dụ1. Chứng minh √1−x+√x+2 ≤ √

6, ∀x ∈[−2;1].

Lời giải. Với x ∈[−2;1], ta có

√

1−x+ √

x+2 ≤ √

6 ⇔3+2 »

(1−x)(x+2) ≤6 ⇔4(1−x)(x+2) ≤9 ⇔(2x+1)2 ≥0.

Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Vậy, bài toán được chứng minh.

Ví dụ2. Chứng minh a2 +b2 +2 ≥2(a+b), với mọi sốthực a,b.

Lời giải. Với mọi sốthực a,b ta luôn có

(a−1)2 +(b−1)2 ≥0 ⇔a2 +b2 +2 ≥2(a+b).

Bài toán đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b = 1.

Ví dụ3. Cho các sốthực x,y,z. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) x2 +y2 +z2 ≥xy+yz+zx;

b) x2 +y2 +1 ≥xy+x+y.

Lời giải.

a) Bất đẳng thức tương đương với

2x2 +2y2 +2z2 ≥2xy+2yz+2zx ⇔(x−y)2 +(y−z)2 +(z−x)2 ≥0.

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi x = y = z. Phép chứng minh hoàn tất.

b) Ta có x2 +y2 +1 ≥xy+x+y ⇔2x2 +2y2 +2−2xy−2x−2y ≥0 ⇔(x−y)2 +(x−1)2 +(y−1)2 ≥0. Đẳng thức có được khi và chỉkhi x = y = 1. Bài toán đã được chứng minh.

1.. BẤT ĐẲNG THỨC 247

Ví dụ4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a3 +b3 ≥ab(a+b), với a,b ≥0;

b) a4 +b4 ≥a3b+ab3, với a,b ∈R.

Lời giải.

a) Ta có a3 +b3 ≥ab(a+b) ⇔(a+b)(a2 −ab+b2) ≥ab(a+b) ⇔(a+b)(a−b)2 ≥0. Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi a,b không âm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b.

b) Biến đổi bất đẳng thức đã cho tương đương với (a−b)2(a2 −ab+b2) ≥0 (hiển nhiên đúng). Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b.

Ví dụ5. Cho a,b là các sốthực thỏa mãn ab ≥1. Chứng minh 1 1+a2 + 1 1+b2 ≥ 2 1+ab.

Lời giải. Ta có 1 1+a2 + 1 1+b2 ≥ 2 1+ab ⇔ 1 1+a2 − 1 1+ab + 1 1+b2 − 1 1+ab ≥0

⇔ ab−a2

(1+a2)(1+ab) + ab−b2

(1+ab)(1+b2) ≥0 ⇔a(b−a)(1+b2)−b(b−a)(1+a2)

(1+a2)(1+b2) ≥0

⇔(b−a)(a+ab2 −b−a2b)

(1+a2)(1+b2) ≥0 ⇔(b−a)2(ab−1)

(1+a2)(1+b2) ≥0.

Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi a,b thỏa mãn ab ≥1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi ab = 1 hoặc a = b.

Ví dụ6. Cho x,y,z là các sốthực dương thỏa mãn 1

x + 1

z = 2

y. Chứng minh:

x+y 2x−y + y+z

2z−y ≥4.

Lời giải. Từgiảthiết 1

x + 1

z = 2

y ⇒y = 2xz

x+z. Do đó

x+y 2x−y + y+z

2z−y ≥4 ⇔

x(x+3z)

x+z

2x2 x+z +

z(z+3x)

x+z

2z2 x+z ≥4 ⇔x+3z

x + z+3x

z ≥8 ⇔(x−z)2 ≥0 (luôn đúng).

Vậy, bài toán được chứng minh. Đẳng thức có được khi và chỉkhi x = y = z.

BÀI TẬP TỰLUYỆN

Bài 1. Cho a,b,c là các sốthực thỏa mãn a+b+c = 3. Chứng minh a4 +b4 +c4 ≥a3 +b3 +c3. Lời …