Phân loại và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức - bất phương trình

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 261

CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

1. Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng '' '' a b < hoặc a b  được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề " " a b c d    đúng thì ta nói bất đẳng thức c d  là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a b  và cũng viết là " " a b c d   

Nếu bất đẳng thức a b  là hệ quả của bất đẳng thức c d  và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là . a b c d   

3. Tính chất của bất đẳng thức

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a b  ta chỉ cần chứng minh 0 a b   Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau

Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung

a b a c b c      Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số

0 c  a b ac bc    Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số 0 c  a b ac bc   

a c  và c d  a b c d     Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

0; 0 a c   a b  và c d  ac bd   Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

* n  2 1 2 1 n n a b a b      Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa * n và 0 a  2 2 n n a b a b   

0 a  a b a b    Khai căn hai vế của một bất đẳng thức 3 3 a b a b   

Chú ý

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 262

Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b  hoặc a b  Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a b  hoặc a b  là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt. II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN

1. Bất đẳng thức Cô-si

Định lí

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

 , , 0. 1 2 a b ab a b    

Đẳng thức 2 a b ab   xảy ra khi và chỉ khi a b  .

2. Các hệ quả

Hệ quả 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2

1 2, 0. a a a   

Hệ quả 2

Nếu ,x y không âm và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi . x y 

Hệ quả 3

Nếu ,x y không âm và có tích không đổi thì tổng x y  nhỏ nhất khi và chỉ khi . x y 

III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Điều kiện Nội dung

0, , x x x x x   

0 a 

x a a x a   

x a x a    hoặc

x a 

a b a b a b     

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 263

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất

1. Phương pháp giải. Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A B ³ ta có thể sử dụng các cách sau:  Ta đi chứng minh 0 A B - ³ . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A B - thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.  Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. Ví dụ 1 : Cho hai số thực , , a b c . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau

a)

2 2

2 a b ab + £ b)

2

2 a b ab æ ö + ÷ ç £ ÷ ç ÷÷ çè ø

c)     2 2 2 2 3 a b c a b c      d)     2 3 a b c ab bc ca     

Lời giải

a) Ta có 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 2 a b ab a b a b ab + - = - ³  + ³ . Đẳng thức a b  = .

b) Bất đẳng thức tương đương với

2 0 2 a b ab æ ö + ÷ ç - ³ ÷ ç ÷÷ çè ø

  2 2 2 2 4 0 a ab b ab a b        (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra a b  =

c) BĐT tương đương   2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 a b c a b c ab bc ca        

      2 2 2 0 a b b c c a        (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra a b c  = =

d) BĐT tương đương   2 2 2 2 2 2 3 a b c ab bc ca ab bc ca        

    2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ca              2 2 2 …