Tiếp cận các bất đẳng thức bằng hình học trực quan

MỘT THẾGIỚI KHÁC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

1 Từbất đẳng thức tam giác tới bất đẳng thức Minkowski

Đây có lẽlà một bất đẳng thức cơ bản nhất mà chúng ta được học ởchương trình phổthông, nội dung của nó phát biểu như sau: Bất đẳng thức tam giác. Trong một tam giác thì tổng độdài 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại. Chứng minh. Bất đẳng thức này có rất nhiều cách chứng minh đơn giản, có thểsửdụng mối quan hệđường xiên −hình chiếu hoặc bạn đọc cũng có thểlàm như sau: Giảsửrằng a ⩾b ⩾c, khi đó vẽcác cung tròn như hình vẽdưới

a b

a

b c

Như vậy ta dễdàng suy ra được điều phải chứng minh. Xuất phát từbất đẳng thức này, ta có thểchứng minh được một sốbất đẳng thức quen thuộc khác. Bài toán 1.0.1. Cho 2 sốthực dương a, b. Chứng minh rằng √

2 (a + b) ⩽2 √

a2 + b2 ⩽2 (a + b)

Chứng minh. Ta có thểthấy bóng dáng của bất đẳng thức AM −RMS ởdãy bất đẳng thức trên, như vậy với bài toán này ta sẽcó thêm một cách giải quyết nữa cho 2 đại lượng trung bình AM và RMS. Quan sát hình vẽdưới đây

a

b

a b

Từhình vẽtrên ta có thểthấy rằng 2 √

a2 + b2 chính là tổng độdài 2 cạnh huyền của 2 tam giác vuông bằng nhau, √

2(a + b) chính là độdài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh là a + b, khi đó sửdụng bất đẳng thức tam giác ta dễdàng suy ra điều phải chứng minh. Sửdụng ý tưởng tương tự, ta sẽchứng minh được bất đẳng thức sau Bài toán 1.0.2. Cho 3 sốthực dương a, b, c. Chứng minh rằng √

2(a + b + c) ⩽ √

a2 + b2 + √

b2 + c2 + √

c2 + a2 ⩽2(a + b + c)

Chứng minh. Tương tựnhư trên, bạn đọc có thểtựgiải quyết nó trước khi quan sát hình vẽdưới đây

2

TỪBẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC TỚI BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI

a b c

b

c

a

Đến đây mọi việc quá đơn giản rồi, bất đẳng thức được chứng minh! Có vẻnhư ý tưởng sửdụng bất đẳng thức tam giác và mối quan hệcủa các cạnh trong tam giác vuông khá hữu hiệu với những bài toán xuất hiện đại lượng p

x2 + y2, sau đây tiếp tục là một bài toán rất quen thuộc với chúng có sửdụng ý tưởng này! Bài toán 1.0.3. Cho các sốthực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng

√

a2 + c2 + √

b2 + d2 ⩾ q

(a + b)2 + (c + d)2

Chứng minh. Ởtoán phổthông, chúng ta được biết tới bất đẳng thức này với một sốtên gọi như là bất đẳng thức vector hoặc bất đẳng thức Minkowski hoặc có một sốnơi gọi là bất đẳng thức tọa độ. Chứng minh của nó khá đơn giản như sau

a b

c

d

Tới đây ta dễdàng tính được độdài các cạnh của tam giác màu xám là

√

a2 + c2, √

b2 + d2, p

(a + b)2 + (c + d)2

Như vậy theo bất đẳng thức tam giác ta có điều phải chứng minh. Đây là một trường hợp đặc biệt với 2 biến của bất đẳng thức Minkowski, dạng tổng quát của nó được phát biểu như sau: Với các sốthực dương ai, bi, i = 1, n(n ∈N, n > 1), khi đó ta có

v u u t

n X

i=1 ai

!2 +

n X

i=1 bi

!2 ⩽

n X

i=1

q

a2 i + b2 i

Mặc dù dạng tổng quát nhìn có vẻ"rối rắm", tuy nhiên chứng minh của nó hoàn toàn như trường hợp 2 biến, các bạn có thểxem hình bên dưới.

3

MỘT THẾGIỚI KHÁC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

a1 a2 · · · an

b1

b2

...

bn

O

y

x

Đến đây mọi chuyện trởnên rất đơn giản rồi! Hoàn toàn tương tựnhư bài toán 1.0.1 và bài toán 1.0.2 ta dễdàng suy ra điều phải chứng minh. Bây giờsửdụng ý tưởng này ta sẽchứng minh bất đẳng thức đã đềcập ởphần trước

3 a2 + b2 + c2 ⩾(a + b + c)2

Z

a

c

b

a b c a

c

b

O

X

Y

Quan sát hình vẽtrên, ta có Z(a + b + c, a + b + c, a + b + c), như vậy

OZ ⩽OX + XY + Y Z ⇔ √

3(a + b + c) ⩽3 √

a2 + b2 + c2

⇔a + b + c

3 ⩽

r

a2 + b2 + c2

3

Hermann Minkowski. Ông sinh ngày 22 tháng 6 năm 1864 tại Aleksotas, Đếquốc Nga (nay ởKaunas, Lithuania) trong một gia đình gốc Đức, Ba Lan và Do Thái. Ông mất ngày 12 tháng 1 năm 1909, G¨ottingen, Đức. Minkowski là một nhà toán học Đức gốc Litva, người đã phát triển hình học của các sốvà đã sửdụng phương pháp hình học đểgiải các bài toán khó trong lý thuyết số, vật lý toán và lý thuyết tương đối.

4