Bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến - Lê Văn Đoàn

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 256 -

Chuyên đề

Bài 1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG

  Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)

 , 0, a b   thì: 2 . . a b a b   Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi: . a b 

 , , 0, a b c   thì: 3 3. . . . a b c a b c    Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi: . a b c  

Nhiều trường hợp đánh giá dạng:

2 . 2 2 a b a b ab a b          

và

3 . . 3 a b c a b c          

 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)

 , , , , a b x y   thì: 2 2 2 2 2 ( . . ) ( )( ) . a x b y a b x y     Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi: a b x y  

 , , , , , , a b c x y z   thì: 2 2 2 2 2 2 2 ( . . . ) ( )( ) . a x b y c z a b c x y z       

Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi: a b c x y z   

Nhiều trường hợp đánh giá dạng: 2 2 2 2 . . ( )( ). a x b y a b x y    

Hệ quả. Nếu , , a b c là các số thực và , , x y z là các số dương thì:

2 2 2 ( ) a b a b x y x y   

 và

2 2 2 2 ( ) a b c a b c x y z x y z     

  : bất đẳng thức cộng mẫu số.

 Bất đẳng thức véctơ

Xét các véctơ: ( ; ), ( ; ) u a b v x y    

. Ta luôn có: u v u v       

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) . a b x y a x b y         Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi u



và v



cùng hướng.

 Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp

 3 3 3 ( ) 3 ( ). x y x y xy x y       2 2 2 2 ( ) 2( ). x y z x y z xy yz zx        

 3 3 3 3 ( ) 3( )( )( ). x y z x y z x y y z z x         

 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) . x y z xyz x y z x y z xy yz zx               

 2 2 2 2 2 2 ( )( )( ) ( ). a b b c c a ab bc ca a b b c c a         

 ( )( )( ) ( )( ) . a b b c c a a b c ab bc ca abc         



3 3 3 2 2 2 2 2 2 2( ) 6 ( ) ( ) ( ) 2( ) a b c abc a b b c c a a b c ab bc ca

a b c                  

 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 3( )( )( ). a b b c c a a b b c c a         

 2 2 2 2 2 2 .( ) . ( ) ( ) 4 2 a b ab a b a b          và

2 2 2 ( ) ( ) 2 a b a b ab     

 Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ

Các đánh giá cơ bản thường được sử dụng (không cần chứng minh lại)

a.

2 2 2 ; ; 0 . suy ra x y z x y z xy yz zx        

b.

; ; 0 ( )( )( ) 8 . suy ra x y z x y y z z x xyz       

c.

2 2 2 2 ; ; 3( ) ( ) . suy ra x y z x y z x y z         

d.

2 2 2 2 2 2 ; ; 0 ( )( ) 3( ). suy ra x y z x y z x y z x y y z z x          

e.

2 ; ; 0 ( ) 3( ). suy ra x y z x y z xy yz zx        

BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 11

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 257 -

f.

2 2 2 2 2 2 ; ; 0 ( ). suy ra x y z x y y z z x xyz x y z        

g.

2 ; ; 0 ( ) 3 ( ). suy ra x y z xy yz zx xyz x y z        

h.

2 2 2 2 2 2 2 ; ; 3( ) ( ) . suy ra x y z x y y z z x xy yz zx         

i.

9 ; ; ( )( ) ( )( )( ). 8

suy ra x y z x y z xy yz zx x y y z z x            

Các bất đẳng thức phụ thường được sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng)

j.

3 3 3 1 ; 0 ( ) . 4

suy ra x y x y x y      

k.

2 2 1 1 2 1 1 1 1

suy ra xy xy x y        

và

2 2 1 1 2 1 1 1 1

suy ra xy xy x y         

Suy ra:

1 1 2 1 1 1 1

suy ra xy x y xy        

và

1 1 2 1 1 1 1

suy ra xy x y xy         

l.

2 2 1 1 1 ; 1 1 (1 ) (1 )

suy ra x y xy x y         

m.

2 2 1 1 2 ; 0;1

1 1 1

suy ra x y

xy x y           

n.

2

, 0 1 1 2 1 1 1 1

suy ra x y x y x y x y

                              

Chứng minh các đánh giá cơ bản

a. Chứng minh:

2 2 2 ; ; 0 . suy ra x y z x y z xy yz zx        

Áp dụng BĐT Cauchy:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 .

2 2

x y x y xy

y z y z yz x y z xy yz zx

z x z x zx

                    

Dấu " "  khi . x y z  

b. Chứng minh:

; ; 0 ( …