Tuyển tập 300 bài toán bất đẳng thức chọn lọc có lời giải chi tiết

Người biên soạn: Trần Minh Quang Trang 1/53

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI, TUYỂN SINH ĐH-THPT

QUỐC GIA VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội

dung về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thì với các bài toán

ngày càng khó hơn. Trong chủ đề này, mình đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh và các đề thi chuyên toán

các năm gần đây.

Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:  1 1 1 9 a b c a b c           

b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn 3 a b c    . Chứng ming rằng:

2 2 2 1 2009 670 a b c ab bc ca      

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010

Lời giải

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương 3

3 1 1 1 1 ; 3 a b c abc a b c abc      

Suy ra  1 1 1 9 a b c a b c           

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c  

b) Ta có:  

2 2 2 2 2007 3 669 3

a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca

               

Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta có

  2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 9 a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca                    

Suy ra

 

2 2 2 2 1 1 9 1 a b c ab bc ca a b c         

Do đó ta được 2 2 2 1 2009 670 a b c ab bc ca      

.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 a b c   .

Bài 2. Với số tự nhiên 3 n  . Chúng minh rằng 1 2 n S  .

Với

      

1 1 1 ... 3 1 2 5 2 3 2 1 1 n S

n n n         

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Định năm 2009-2010

Lời giải Với 3 n  , ta có

  

2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1. 1 2 1 1 4 4 1 4 4

n n n n n n n n n n n n n n n n n n

                       

n +1- n

Do đó ta được 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 2 2 2 3 1 1 n S

n n n                        

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Người biên soạn: Trần Minh Quang Trang 2/53

Bài 3. Chứng minh rằng

  2

1 2

3 2

m

n n  



, với mọi số nguyên m, n.

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình năm 2009-2010

Lời giải

Vì m, n là các số nguyên nên m

n

là số hữu tỉ và 2 là số vô tỉ nên 2 0 m

n   .

Ta xét hai trường hợp sau

+ Trường hợp 1: Với 2 m

n  , khi đó ta được 2 2 2 2 m 2 2 1 n m n     hay 1   2 m 2n

Từ đó suy ra

 

2 2

2 2 2 2 2

1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 3 2 2 2 2 2

m n n n n n n n n n

                      

+ Trường hợp 2: Với 2 m

n  , khi đó ta được 2 2 2 2 m 2 2 1 n m n     hay 1   2 m 2n

Từ đó suy ra

 

2 2

2 2 2 2 2

1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 3 2 2 2 2 2

m m n n n n n n n n n n

                         Vậy bài toán được chứng minh. Bài 4. Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

     

2 2 2

2 2 2 2 a b c

b c c a a b      

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009-2010

Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

        

2

2 2 a b c ab bc ca b c c a a b b c c a c a a b a b b c

                            

Mà ta lại có

        

         

       

1 ab a b bc b c ca c a a b b c c a ab bc ca b c c a c a a b a b b c a b b c c a a b b c c a                         

Do đó bất đẳng thức trên trở thành

2

0 a b c b c c a a b            

.

Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh.

Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn 3 a b c    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

2 2 2 P ab bc ca a b c a b b c c a        

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh …