Tuyển tập 30 bài toán bất phương trình vô tỉ - Nguyễn Minh Tiến

Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Bài 1 : Giải bất phương trình (x −1) √

x2 −2x + 5 −4x √

x2 + 1 ≥2 (x + 1)

Lời giải tham khảo :

(x −1) √

x2 −2x + 5 −4x √

x2 + 1 ≥2 (x + 1)

⇔(x + 1) 2 + √

x2 −2x + 5 + 2x 2 √

x2 + 1 − √

x2 −2x + 5 ≤0

⇔(x + 1) 2 + √

x2 −2x + 5 + 2x (4x2 + 4 −x2 + 2x −5)

2 √

x2 + 1 + √

x2 −2x + 5 ≤0

⇔(x + 1) 2 + √

x2 −2x + 5 + 2x (x + 1) (3x −1) 2 √

x2 + 1 + √

x2 −2x + 5 ≤0

⇔(x + 1) 2 + √

x2 −2x + 5 + 2x (3x −1) 2 √

x2 + 1 + √

x2 −2x + 5

≤0

⇔(x + 1)

" 4 √

x2 + 1 + 2 √

x2 −2x + 5 + 2 p

(x2 + 1) (x2 −2x + 5) + (7x2 −4x + 5) 2 √

x2 + 1 + √

x2 −2x + 5

#

≤0

Có 7x2 −4x + 5 = 7 x2 −4

7x + 4

49

+ 31

7 ≥31

7 nên biểu thức trong ngoặc luôn > 0.

Do đó bất phương trình ⇔x + 1 ≤0 ⇔x ≤−1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = (−∞; −1]

Bài 2 : Giải bất phương trình √x + 2 + x2 −x + 2 ≤√3x −2

Lời giải tham khảo :

Điều kiện : x ≥2

3

bpt ⇔√x + 2 −√3x −2 + x2 −x −2 ≤0

⇔ −2 (x −2) √x + 2 + √3x −2 + (x −2) (x + 1) ≤0

⇔(x −2) −2 √x + 2 + √3x −2 + x + 1 ≤0

—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 1

Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Xét f (x) = −2 √x + 2 + √3x −2 + x + 1 ⇒f ′ (x) =

1 √x + 2 + 3 √3x −2 √x + 2 + √3x −2 + 1 > 0

⇒f (x) ≥f 2

3 > 0

Do đó bất phương trình ⇔x −2 ≤0 ⇔x ≤2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = 2

3; 2

Bài 3 : Giải bất phương trình 4√x + 1 + 2√2x + 3 ≤(x −1) (x2 −2)

Lời giải tham khảo :

Điều kiện : x ≥−1

Nhận thấy x = - 1 là một nghiệm của bất phương trình

Xét x > - 1 ta có bất phương trình tương đương với

4 √x + 1 −2 + 2 √2x + 3 −3 ≤x3 −x2 −2x −12

⇔ 4 (x −3) √x + 1 + 2 + 4 (x −3) √2x + 3 + 3 ≤(x −3) (x2 + 2x + 4)

⇔(x −3) 4 √x + 1 + 2 + 4 √2x + 3 + 3 −(x + 1)2 −3 ≤0

Vì x > - 1 nên √x + 1 > 0 và √2x + 3 > 1 ⇒ 4 √x + 1 + 2 + 4 √2x + 3 + 3 < 3

Do đó 4 √x + 1 + 2 + 4 √2x + 3 + 3 −(x + 1)2 −3 < 0

Suy ra bất phương trình ⇔x −3 ≥0 ⇔x ≥3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = {1} ∪[3; +∞)

Bài 4 : Giải bất phương trình

p

x (x + 2) q

(x + 1)3 −√x ≥1

Lời giải tham khảo :

Điều kiện : x ≥0 . Khi x ≥0 ta có q

(x + 1)3 −√x > 0

—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 2

Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

p

x (x + 2) q

(x + 1)3 −√x ≥1 ⇔ p

x (x + 2) ≥ q

(x + 1)3 −√x

⇔x2 + 2x ≥x3 + 3x2 + 4x + 1 −2 (x + 1) p

x (x + 1)

⇔x3 + 2x2 + 2x + 1 −2 (x + 1) √

x2 + x ≤0

⇔(x + 1) x2 + x + 1 −2 √

x2 + x ≤0

⇔x2 + x + 1 −2 √

x2 + x ≤0 ⇔ √

x2 + x −1 2 ≤0

⇔ √

x2 + x = 1 ⇔x = −1 ± √

5 2

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x =

√

5 −1

2

Bài 5 : Giải bất phương trình 1 √x + 2 − 1 √−x −1 −2

3x ≥1

Lời giải tham khảo :

Điều kiện : −2 < x < −1 (∗)

bpt ⇔3 1 √x + 2 − 1 √−x −1

≥ √x + 2 2 − √−x −1 2

⇔3 ≥√x + 2√−x −1 √x + 2 −√−x −1

Đặt a = √x + 2 −√−x −1 ⇒√x + 2.√−x −1 = 1 −a2

2

Ta được bất phương trình a −a3

2 ≤3 ⇔a3 −a+6 ≥0 ⇔(a + 2) (a2 −2a + 3) ≥0 ⇔ a ≥−2

⇒√x + 2 −√−x −1 ≥−2 ⇔√x + 2 + 2 ≥√−x −1 ⇔x + 6 + 4√x + 2 ≥−x −1

⇔4√x + 2 ≥−(2x + 7) (1)

(1) luôn đúng với điều kiện (*). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = (−2; −1)

Bài 6 : Giải bất phương trình √x + 1 √x + 1 −√3 −x > x −1

2

Lời giải tham khảo :

Điều kiện : x ∈[−1; 3] \ {1}

—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 3