Các dạng Bất phương trình vô tỉ và cách giải

CÁC DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ CÁCH GIẢI

A. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG.

* Hai bất phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng khi chúng có cùng tập nghiệm.

* Một số phép biến đổi tƣơng đƣơng:

+) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình.

+) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức ( luôn dương hoặc âm) mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình.

+) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình.

+) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương.

+) Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.

I. Kỹ thuật lũy thừa hai vế.

1. Phép lũy thừa hai vế:

a) ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 x g x f x g x f k k      .

b)

  

    ) ( ) (

0 ) ( ) ( ) ( 2 2

x g x f

x g x g x f k k .

*)   



   2 0

B A

B B A hoặc

  

 

0 0 A B .

*) 







   

2 0 0

B A

A B B A .

*) B A B A     0 .

( Đối với các trường hợp còn lại với dấu , ,  < các bạn có thể tự suy luận ).

2. Lƣu ý:

Đặc biệt chú ý tới điều kiện của Bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.

3. Ví dụ:

Bài 1: Giải các BPT sau:

a) 1 2 3    x x ; b) 3 1 2     x x x

c) 3 4 2 3    x x ; d) 1 4 3 2     x x x

Giải:

a)

 

3

0 4 5 4

3

2 1

1 2 3

0 3

0 1 2 1 2 3

2 2

 

 



 





  





  

 



  

 

      x

x x

x

x

x x

x

x x x .

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:    ;3 .

b)

 

7 8

3 1

0 3

0 1 3 1

2 2

2

2     

 



   

 

        x

x x x

x

x x x x x .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:        ; 7 8 .

Hai Bài tập còn lại các bạn tự giải.

Bài 2: Giải BPT: x x x 2 1 1 4      (1).

Giải:

* (1)

 







   

   

 



 





    

 

 

 

      

1 3 2 1 2

2 1 4

2 1 1 4

0 4

0 2 1

0 1

2 1 1 4

2 2 x x x

x

x x x

x

x x

x x x

 

0 4

0 2 7

2 1 2 1

2 1 4

1 2 1 3 2

0 1 2

0 1 2

2 1 4

2 2

   

   



   





      





 

 



  

 

 

  



  



 





  





  

   

 

 

  

 x

x

x

x

x

x x x

x

x

x

.

* Vậy tập nghiệm: [-4;0].

Bài tập tƣơng tự : Giải BPT: 4 2 1 1 5      x x x (TS (A)_ 2005).

Đáp số: Tập nghiệm T=[2;10).

II. Kỹ thuật chia điều kiện.

1. Kỹ thuật:

Nếu Bài toán có điều kiện là D x mà n D D D D     ... 2 1 ta có thể chia Bài toán theo n trường hợp của điều kiện:

+) Trường hợp 1: 1 D x , giải bất phương trình ta tìm được tập nghiệm 1T .

+) Trường hợp 2: 2 D x  , giải bất phương trình tìm được tập nghiệm T2.

………………………………….

+) Trường hợp n: n D x  , giải bất phương trình tìm được tập nghiệm Tn.

Tập nghiệm của bất phương trình là n T T T T     ... 2 1 .

2. Yêu cầu:

Cần phải xác định giao, hợp trên các tập con của R thành thạo.

3. Ví dụ:

Bài 1: Giải BPT: 2 2 4 3 2

    

x

x x

(1)