Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số - Huỳnh Chí Hào

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

(Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015)

Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Bài 1: Giải hệ phương trình   3 2

2 2

2 12 25 18 2 9 4 (1)

3 1 3 14 8 6 4 (2)

y y y x x

x x x y y

             

(Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa)

Bài giải

♥ Điều kiện:

2

1 3 6 4 0

x

y y

    

(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu   f u f v  )

♦   3 2 2 12 25 18 2 9 4 y y y x x             

3 3 2 4 2 2 4 2 y y x x        (3)

[Tại sao ?]

♦ Xét hàm đặc trưng 

3 2 f t t t   trên  ta có:



2 ' 6 1 0, f t t t      f t đồng biến trên 

Nên:       

2 2 2 2 3 2 4 2 4

4 (4) 2 4

y y f y f x y x

x y y y x

                           

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

2 3 1 6 3 14 8 0 x x x x      (5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là 5 x  nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân

liên hợp.

   

2 4 1 5 3 1 6 3 14 5 0 x x x x           (Tách thành các biểu thức liên hợp)

     3 5 5 5 3 1 0 3 1 4 6 1

x x x x x x

          

(Nhân liên hợp)

   

0

3 1 5 3 1 0 3 1 4 6 1 x x x x



                       

5 x  

♦ Với 5 x   1 y  (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất     ; 5;1 x y  

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).

Bài 2: Giải hệ phương trình

   

3 3 2 2

2 17 32 6 9 24 (1)

2 4 9 2 9 9 1 (2)

x y x y x y

y x x y x x y

                

(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Bài giải

♥ Điều kiện: 4 2 9 0 x

y x

   

(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu   f u f v  )

♦ 3 3 2 2 17 32 6 9 24 x y x y x y        3 2 3 2 18 42 7 32 6 9 1 x x y y y x        [Tại sao ?]

         3 3 2 2 2 2 5 5 x x y y        (3)

♦ Xét hàm đặc trưng 

3 5 f t t t   trên  ta có:



2 ' 3 5 0, f t t t      f t đồng biến trên 

Nên:      3 2 2 1 3 3 f x f y x y y x           (4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

   

2 3 4 9 11 9 10 x x x x x x         (5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là 5 x  nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân

liên hợp.

      

2 5 3 4 3 4 9 11 2 35 x x x x x x            (Tách thành các biểu thức liên hợp)

       5 5 3 . 9 . 5 7 4 3 11 4 x x x x x x x x             

(Nhân liên hợp)

    3 9 5 7 0 4 3 11 4 x x x x x x

                   