Giải phương trình - bất phương trình bằng phương pháp Vector

Ví dụ1: Giải bất phương trình

√

x −1 + x −3 ≤ p

2(x −3)2 + 2x −2

Giải : Với x ≥1 xét các vectơ ⃗u = (√x −1, x −3) và ⃗e = (1, 1) ta có |⃗u| = p

x −1 + (x −3)2 và |⃗e| = √

2. Theo (II’) ta được :

( √

x −1, x −3)(1, 1) ≤ p

x −1 + (x −3)2. √

2

⇔ √

x −1 + x −3 ≤ p

2x −2 + 2(x −3)2

theo (IV) ta được: ( √

x −1 = λ

x −3 = λ

⇔ √

x −1 = x −3 ⇒x = 5

Ví dụ2 : Giải bất phương trình

√

x + 1 + √

2x −3 + √

50 −3x ≤12 (2)

Giải : Tập xác định của vếtrái là 3

2 ≤x ≤50

3 . Xét các vectơ ⃗u = ( √

x + 1, √2x −3, √50 −3x) và ⃗v = (1, 1, 1), ta có |⃗u| = √

48 = 4 √

3 và |⃗v| = √

3. Theo (II’) bất phương trình (2) trởthành :

( √

x + 1, √

2x −3, √

50 −3x)(1, 1, 1) ≤4 √

3. √

3

⇔ √

x + 1 + √

2x −3 + √

50 −3x ≤12

Vậy nghiệm của bpt (2) là 3

2 ≤x ≤50

3 .

Ví dụ3 : Giải phương trình

sin x + √

2 −sin x2 + sin x √

2 −sin x2 = 3 (3)

Giải : Xét các vectơ −→u = (sin x, 1, √

2 −sin x2) và −→v = (1, √

2 −sin x2, sin x). Ta có |−→u | = |−→v | = √

3

1

⇒|−→u | . |−→v | = 3 Theo (III’) ta có |−→u .−→v | = |−→u | . |−→v | và từ(IV) ta có hệ:    

  

sin x = λ

1 = λ √

2 −sin x2 √

2 −sin x2 = λ sin x

⇒λ = 1 và sin x = 1 ⇒x = π

2 + 2kπ(k ∈Z)

Ví dụ4 : Chứng minh rằng hệsau đây vô nghiệm.

( x4 + y4 + z4 = 1

x2 + y2 + 2z2 = √

7.

Giải : Xét các vectơ ⃗u = (x2, y2, z2) và ⃗v = (1, 1, 2), Ta có : |⃗u| = p

x4 + y4 + z4 = 1,

|⃗v| = √

12 + 12 + 22 = √

6.

Theo hệtrên, ta có ⃗u.⃗v = x2 + y2 + 2z2 = √

7 và |⃗u| . |⃗v| = √

6 Do đó ⃗u.⃗v = (x2, y2, z2)(1, 1, 2) = x2 + y2 + 2z2 > √

6 = |⃗u| . |⃗v|

Điều này mâu thuẫn với (II). Vậy hệtrên vô nghiệm. Qua các ví dụtrên rõ ràng ta thấy sựphong phú, tính hiệu quả, ngắn gọn của việc sư dụng tích vô hướng đểgiải một sốbài toán thường gặp. Sau đây là một sốđềtoán để luyện tập :

Bài 5 : Giải phương trình :

x √

x + 1 + √

3 −x = 2 √

x2 + 1.

Giải : ĐK : −1 ≤x ≤3. Đặt −→u = (x, 1), − →v = (√x + 1, √3 −x). Khi đó −→u .−→v = x√x + 1 + √3 −x;

|−→u | . |−→v | = √

x2 + 1. q

( √

x + 1)2 + ( √

3 −x)2 = 2 √

x2 + 1.

Do đó −→u .−→v = |−→u | . |−→v | ⇒−→u , −→v cộng tuyến

⇔x

1 = √x + 1 √

3 −x(DK : 0 < x ≤3)

2

⇔x2 = x + 1

3 −x ⇔x3 −3x2 + x + 1 = 0

⇔(x −1)(x2 −2x −1) = 0

⇒x1 = 1, x2 = 1 + √

2, nghiệm x3 = 1 − √

2 < 0, bịloại

Bài 6 : Giải hệphương trình   

 

x + y + z = 3

x2 + y2 + z2 = 3

x5 + y5 + z5 = 3

Giải : Xét hai vectơ −→u = (x, y, z) và −→v = (1, 1, 1). Ta có : −→u .−→v = 1x2 + 1y2 + 1z2 = x2 + y2 + z2 = 3 |−→u | . |−→v | = p

x2 + y2 + z2. √

12 + 12 + 12 = √

3. √

3 = 3 ⇒−→u .−→v = |−→u | . |−→v | = 3 từđó suy ra −→u và −→v cộng tuyến với nhau. (1) mà |−→u | = |−→v | = √

3 (2) Từ(1) và (2) suy ra −→u = −→v Vậy nghiệm của hệphương trình trên có tọa độlà (1, 1, 1)

Bài 7 : Giải hệphương trình sau:

   

  

x + y + z = 1

x2 + y2 + z2 = 1

x3 + y3 + z3 = 1 Giải : Chọn −→u (x; y; z), − →v (x2; y2; z2) từđềbài suy ra |−→u | = 1, −→u .−→v = x3 + y3 + z3 = 1. Mặt khác ta lại có |−→v | = p

x4 + y4 + z4 = p

1 −2(x2y2 + y2z2 + z2x2) ≤1. Nên suy ra −→u .−→v ≤1

Như vậy dẫn đến

( |−→v | = 1

cos(−→u , −→v ) = 1 ⇔

     

    

xy = 0

yz = 0

zx = 0

(−→u , −→v ) = 0

⇔

   

  

x = 1, y = 0, z = 0

x = 0, y = 1, z = 0

x = 0, y = 0, z = 1

Thửlại ta được nghiệm của hệlà (x; y; z) = (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).

Bài 8 : Giải phương trình :sin x + cos x = 1. Giải: Ta chọn các vectơ −→u = (sin x, cos x), −→v = (1, 1) Ta có : −→u .−→v = sin x + cos x = 1. Mặt khác −→u .−→v = |−→u | . |−→v | cos(−→u , −→v ) = √

cos2 x + sin2 x.√1 + 1 cos(−→u , −→v ) = √

2 cos(−→u , − →v )

3