Phương pháp Ép tích bằng ẩn phụ - Đoàn Trí Dũng

ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH

180

LỜI NÓI ĐẦU Phương pháp Ép tích trong thời gian qua đã khiến vô số các em học sinh, các thầy cô giáo và cả những người đam mê toán học đau đầu về phương pháp nhóm nhân tử đặc biệt này. Có rất nhiều thủ thuật Ép tích nhưng hôm nay, nhóm tác giả chúng tôi xin chia sẻ một phần của bí quyết đó.

Đoàn Trí Dũng – Trần Đình Khánh

Cuốn sách này thuộc về Bản Làng Casio Men – Già Làng: Đoàn Trí Dũng

Mọi chi tiết xin vui lòng ngâm cứu Website: casiomen.com

ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH

181

A. ÉP TÍCH BẰNG ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN

TOÀN

I. Đặt vấn đề:

Phương pháp ép tích bằng đặt ẩn phụ hoàn toàn là phương pháp dùng để nhóm các biểu thức chứa căn thành dạng tích thông qua việc giản ước các căn thức bằng cách đặt ẩn phụ.

Trong mục này, chúng ta sẽ ưu tiên các phương pháp đặt ẩn phụ và biến đổi để rèn luyện tư duy ẩn phụ và biến đổi tương đương. II. Các phương pháp cơ bản của đặt ẩn phụ hoàn toàn ép tích:

 Đặt một ẩn phụ kết hợp nhóm nhân tử.  Đặt hai ẩn phụ kết hợp nhóm nhân tử.  Đặt từ 3 ẩn phụ trở lên kết hợp nhóm nhân tử.  Đặt một ẩn phụ đưa về hệ kết nối hai phương trình.  Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ kết nối hai phương trình. II. Bài tập áp dụng:

Bài 1: Giải phương trình:   x x x x 2 2 1 7 1 1    

Cách 1: Đặt một ẩn phụ và nâng lũy thừa: Điều kiện xác định: x 1 .

Đặt 2 1 1, 0      t x x t t .

Khi đó ta có:     x x t t x t x 2 2 2 3 2 2 2 1 7 1 7 0 1 2 1          

   t t t t t t 4 3 2 2 2 2 7 5 4 0 2 1 2 0          

                2 2 2 1 1 1 1 0 2 x x x

           2 2 1 1 2 1 0 2 x x x           2 2 1 0 1 1 2 x x x

Vì     2 1 0 1 1 x x x do đó     1 2 5 x x .

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất 5 x . Cách 2: Đặt một ẩn phụ đưa về hệ kết nối hai phương trình: Điều kiện: x 1 .

Xét phương trình   x x x x 2 2 1 7 1 1    

Đặt 4 1 3   y x . Khi đó ta có hệ phương trình :

ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH

182

  

   

2

2

2

2

7 1 3 2 1 4

3 16

8 7 17 7 25 0

16 6 5 1 2 0

x xy x y

y

y x x

x x

x

y y

                  

   

    

Trừ hai vế của hai phương trình trong hệ ta có:

   x xy x y x xy x y y x y y x y

2 2 2 2 8 7 17 7 25 0 8 7 17 7 25 16 6 25 16 6 2 0 0 5

                     

   x y x y 8 1 0         x x x x 8 4 1 3 1 4 1 3 0         

   x x x x 1 2 1 4 1 3 0        

Với x 1  ta có x x 1 2 1 1 0    .

Do đó :    x x x x 1 2 1 4 1 3 0         x x 4 1 3 0     

   x x 2 16 1 3       x 2 5 0    x 5  

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x 5  .

Bài 2: Giải phương trình:      2 2 3 x x x x Phân tích

Ẩn phụ cần đặt: t x 0   Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng:

4 2 2 2 3 0 t t t t     

Nhân tử liên hợp cần tìm:   2 1 3 t t  

Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược:

   2 2 2 1 3 1 3 2 2 2 t t t t t t       

Bài giải Đặt một ẩn phụ và nhóm nhân tử:

Điều kiện: x 0 3   . Đặt t x 0   .

Khi đó:      2 2 3 x x x x t t t t 4 2 2 2 3 0          t t t t t 4 2 2 2 1 1 3 0        

    t t t t t t 2 2 2 1 1 1 3 0       

    t t t t t t 2 2 2 1 2 2 2 1 1 3 0 2        