Chuyên đề phương trình Vô tỉ - Đặng Thành Nam

Chuyên đề 4: Phương trình, bất phương trình vô tỷ

196 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 4:

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

198 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt

Mobile: 0976266202

Phương trình vô tỷ, cùng với hệ phương trình là một bài toán hay thường xuyên xuất hiện trong

đề thi TSĐH. Bài tập dạng này rất phong phú và đa dạng, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh

hoạt biến đổi cơ bản, đến đặt ẩn phụ hay, một số đánh giá nhỏ dựa vào bất đẳng thức, hàm số.

Với đề thi TSĐH thì bài toán theo nhận định chủ quan thì 2 phương pháp cơ bản để các em làm

được các bài toán dạng này là biến đổi cơ bản( quan trọng) và đặt ẩn phụ nếu có.

Các phương pháp sẽ được trình bày theo từng dạng toán để các em có thể tiếp cận làm quen, về

sau khi đã được tiếp cận từng phương pháp sẽ hình thành cho các em khả năng nhận dạng và tư

duy phương pháp giải.

Xin được mở đầu bằng một số bài toán:

Bài 1. Giải bất phương trình sau: 2 2 ( 3 ) 2 3 2 0(*) x x x x    

Lời giải:

2

2

2

2 2

2 2

2 3 2 0 2 3 2 0

2 3 2 0 (*)

( 3 ) 2 3 2 0

( 3 ) 2 3 2 0

x x x x

x x x x x x

x x x x

                                

2

1 1

1 1 2 2 2 2 2 2

2 2 1 1 ( 2) ( ) ( 2) ( ) 3 1 2 ( 3) ( ) 2 2 ( 3) ( 0) 3 0

x x

x x x x

x x x x x x x x x x x x x

                                                                                     

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:  1 ( , ] 2 [3, ) 2 D     

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

199 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 2. Giải bất phương trình sau:

2 1 (*) 1 2( 1)

x x

x x

    

Lời giải:

+ Điều kiện: 0 x  , ta có 2 2 1 3 3 1 2( 1) 1 2( ) 1 0 2 2 2 x x x        

Khi đó bất phương trình tương đương với:

2 2 1 2( 1) ( 1) 2( 1) 2 0 (1) x x x x x x x x          

+ Ta có

2 2 2 ( 1 ) ( 1) 2( 1) 2( 1) 2 x x x x x x x x          ( do 1 0 x x   )

2 2 1 2( 1) 2 1 2( 1) 2 0 (2) x x x x x x x x           

Từ (1) và (2) suy ra:

2 3 5 1 2( 1) 2 1 0 2 x x x x x x x          

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 3 5 2 D           

Bài 3. Giải phương trình sau: 3 2 3 2 3 6 5 8 0(*) x x    

Lời giải:

+ Điều kiện: 6 5 x 

+ Đặt 3 3 2; 6 5 0 u x v x     

3

3 2

2

3 2 5 3 5(3 2) 3(6 5 ) 8 (1) 6 5

u x u v x x v x

               

Mặt khác ta lại có: 2 3 8 0 (2) u v   Từ (1) và (2) suy ra:

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

200 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

3 2 3 2 8 2 3( ) 8 0 45 12 96 120 0 3

u u u u u         

2 ( 2)(45 78 60) 0 2 4 u u u u v        

Khi đó:

3 3 2 2 2 x x   

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: 2 x 

Bài 4. Giải phương trình sau: 2 3 1 6 3 14 8 0 x x x x     

Lời giải:

Điều kiện: 1 6 3 x   

Khi đó phương trình được biến đổi thành:1

2 ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 x x x x        

3 15 5 ( 5)(3 1) 0 3 1 4 1 6 x x x x x x           

3 1 ( 5)( 3 1) 0 5 0 3 1 4 1 6 x x x x x            

Do

3 1 1 ( 3 1 0, 6) 3 3 1 4 1 6

x x x x

         

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 5 x  .

Bài 5. Giải phương trình sau:

2 3 2 6 2 4 4 10 3 ( ) x x x x x        

Lời giải:

+ Điều kiện: 2 2 x  

2 2 2 2 2 2 2 4(2 ) 4 4 10 3 4 4 t x x t x x x x x               

1 Xem phương pháp trục căn thức được trình bày ở dưới