Hệ phương trình - Đặng Thành Nam

Chuyên đề 5: Hệ phương trình

288 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 5:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

290 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt

Mobile: 0976266202

Cùng với phương trình, bất phương trình vô tỷ thì hệ phương trình là bài toán luôn xuất hiện

trong đề thi các năm

Thứ tự ưu tiên các hướng khi giải hệ phương trình

+ Các hệ mà 2 phương trình của hệ có dạng tương đương thì trừ 2 vế của hệ, hoặc cộng 2 vế của

hệ sẽ được nhân tử chung.

+ Biến đổi tương đương hệ phương trình đã cho, biến đổi rút ra một phương trình trong hệ là

phương trình tích.

+ Các hệ có biệt thức 2 2 2 ; ;( ) ; ; ,... xy x y x y x y x y     đặt ; u x y v xy   

+ Có các nhân tử chung ở các phương trình của hệ thì đặt ẩn phụ.

+ Thường thì Đề thi Đại Học cho đặt ẩn phụ nhưng ta không thể nhận thấy ngay được nên đặt

cái gì. Vì vậy phải chia hoặc nhân với một biểu thức của biến nào đó( chẳng hạn như

2 3 , , , , ,... x y x x xy ) sau đó mới đặt ẩn phụ được.

+ Hệ có một phương trình dạng là hàm bậc 2 của x hoặc của y, giải phương trình này theo ẩn

đó sẽ rút ra x theo y (hoặc y theo x ).

+ Thay biểu thức ở một phương trình vào phương trình còn lại.

+ Biến đổi các phương trình trong hệ rùi dung phương pháp hàm số.

+ Đánh giá nhờ vào điều kiện có nghiệm của hệ, các bất đẳng thức.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

291 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải hệ phương trình:

2 2 3

2 2 2 5 4 3 2( ) 0 (1) ( , ) ( ) 2 ( ) (2)

x y xy y x y x y xy x y x y

             



Lời giải:

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ:

2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) xy x y x y xy x y x y x y          

2 2 ( ) ( 1) 2( 1)( 1) 0 ( 1)(( ) 2( 1)) 0 x y xy xy xy xy x y xy             

2 2

2 2 1 ( 1)( 2) 0

2

xy xy x y

x y

          

(i). Với 1 xy , thay vào (1) ta được: 2 2 3 5 4 3 2 ( ) 0 x y xy y xy x y     

2 2 3 2 3 6 3 0 ( ) 0 x y xy y y x y        , nhưng do 1 xy nên 1

1 x y x y x y       

(ii). Với 2 2 2 x y   , thay vào (1) ta được: 2 2 3 2 2 5 4 3 ( )( ) 0 x y xy y x y x y      

3 2 2 3 2 2 4 5 2 0 ( 2 )( ) 0 x y x x y xy y x y x y x y             

Thay vào phương trình (1) ta suy ra các nghệm của hệ là

2 2 2 2 1 1 5 5 ; ; ; 1 1 2 2 5 5

x x x x y y

y y

                           

Bài 2. Giải hệ phương trình     2 2 2

, 4 5 2

x y

x y x y x y xy

        



Lời giải:

Điều kiện: 0 xy 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

292 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Hệ tương đương với

    2 2

2 4 5 2 0

x y

x y xy x y xy

        

  

2

2 2 4 0

x y

x y xy x y xy

         

2

2

2 2

1, 1 2 0 3 2 2

22 8 6 22 8 6 2 2 , 25 25 2 4 0 3 2 4 2

x y x y

x y x y xy x x x

x y x y x y

x y xy x x x

                                                                 

Vậy hệ có hai nghiệm là     22 8 6 22 8 6 , 1,1 ; , 25 25 x y           

Bài 2. Giải hệ phương trình     

 

2 2 2 1 7 2

4 1 7 3

x y x y x x y

x x y

           

Lời giải:

3 2 2 2

2 2 2 2 7 2

4 7 3

x x y xy y x x y

x x y

            

Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được phương trình

     3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x x y xy y x y x x y y x y x y            

  

2 2 2 2 1 0

1

y x x y x y

y x

         

Đến đây xét từng trường hợp ta suy ra nghiệm của hệ

Bài 3. Giải hệ …