Đặt ẩn phụ để giải Phương trình - Hệ phương trình - Trần Trí Quốc

Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN

CHUYÊN ĐỀ ĐẶT ẨN PHỤGIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆPHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Như các bạn đã biết trong chương trình Toán THPT thì phương trình và hệphương trình vô tỷ luôn là một chủđềkinh điển, bởi thếnên nó luôn xuất hiện trong các kì thi lớn như thi Đại học và các kì thi học sinh giỏi lớn nhỏ. Trong đó phương pháp dùng ẩn phụđểgiải toán luôn là một công cụ mạnh và hữu ích. Hôm nay bài viết này sẽtrình bày một sốphương pháp đặt ẩn phụđểgiải quyết các bài toán.

Nội dung: Đặt biểu thức chứa căn bằng biểu thức mới mà ta gọi là ẩn phụ, chuyển vềphương trình theo ẩn mới. Giải phương trình ẩn phụrồi thay vào biểu thức tìm nghiệm ban đầu.

Phương pháp: Gồm có các bước sau: Bước 1: Chọn cách đặt ẩn phụ, tìm điều kiện xác định của ẩn phụ. Đểlàm tốt bước này phải có sự quan sát, nhận xét mối quan hệcủa các biểu thức có mặt trong phương trình rồi đưa ra biểu thức thích hợp đểđặt ẩn phụ. Bước 2: Chuyển phương trình ban đầu vềphương trình theo ẩn phụ, thường là nhưng phương trình đã biết cách giải, tìm được nghiệm cần chú ý đến điều kiện của ẩn phụ. Bước 3: Giải phương trình với ẩn phụvừa tìm được và kết luận nghiệm.

Thành viên tham gia chuyên đề: 1-Trần Trí Quốc 11TL8 THPT Nguyễn Huệ, Phú Yên 2-HồĐức Khánh 10CT THPT Chuyên Quảng Bình. 3-Đoàn ThếHòa 10A7 THPT Long Khánh, Đồng Nai 4-Thầy Mai Ngọc Thi THPT Hùng Vương, Bình Phước. 5-Thầy Nguyễn Anh Tuấn THPT Lê Quảng Chí, Hà Tĩnh.

Đầu tiên ta cùng giải các ví dụcơ bản sau: Có lẽnhiều bạn đã quen với bài tập dạng loại này nên mình chỉmuốn nhắc lại 1 tý I-Đặt ẩn phụđưa vềphương trình theo ẩn phụ: Dạng 1

Pt có dạng ax2 + bx + c = p

px2 + qx + r trong đó a

p = b

q

Cách giải : Đặt t = p

px2 + qx + r, t ≥0

Tôi sẽđưa ra vài ví dụđểcác bạn ôn lại vì đây là phần khá dễ

Giải các phương trình sau 1/(ĐH Ngoại Thương-2000) (x + 5)(2 −x) = 3 √

x2 + 3x 2/(ĐH Ngoại ngữ1998) (x + 4)(x + 1) −3 √

x2 + 5x + 2 = 6 3/(ĐH Cần Thơ 1999) p

(x + 1)(2 −x) = 1 + 2x −2x2

4/ 4x2 + 10x + 9 = 5 √

2x2 + 5x + 3 5/ 18x2 −18x + 5 = 3 √

9x2 −9x + 2 6/ 3x2 + 21x + 18 + 2 √

x2 + 7x + 7 = 2 Dạng tiếp theo cũng rất quen thuộc Dạng 2 PT có dạng P(x) + Q(x) + ( p

P(x) ± p

Q(x)) ± 2 p

P(x).Q(x) + α = 0 ( α là sốthực)

Cách giải Đặt t = p

P(x) ± p

Q(x) ⇒t2 = P(x) + Q(x) ± 2 p

P(x).Q(x)

Page 1

Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN

Bài 1: Giải phương trình 1 + 2

3

√

x −x2 = √x + √1 −x

Giải

ĐK 0 ≤x ≤1, Ta đặt t = √x + √1 −x thì √

x −x2 = t2 −1

2 , phương trình trởthành bậc 2 với ẩn

là t

⇔1 + t2 −1

3 = t ⇔t2 −3t + 2 = 0 ⇔t = 1; t = 2

TH1 t = 2 ⇔√x + √1 −x = 2 (VN) TH2 t = 1 ⇔√x + √1 −x = 1 ⇔x = 0; x = 12 Giải các phương trình sau

1/(HVKTQS-1999) √3x −2 + √x −1 = 4x −9 + 2 √

3x2 −5x + 2 2/ √2x + 3 + √x + 1 = 3x + 2 √

2x2 + 5x + 3 −16 3/√4x + 3 + √2x + 1 = 6x + √

8x2 + 10x + 3 −16 4/(CĐSPHN-2001) √x −2 −√x + 2 = 2 √

x2 −4 −2x + 2

Thếlà đã xong các ví dụcơ bản rồi bây giờta xét đến các ví dụmà cần sựbiến đổi khéo léo một chút và có sựquan sát đánh giá mới có thểđưa vềdạng cơ bản đểđặt ẩn phụđược.

II-Đặt ẩn phụđưa vềphương trình tích

Xuất phát từ1 sốhằng đẳng thức cơ bản khi đặt ẩn phụ: x3 + 1 = (x + 1)(x2 −x + 1) x4 + 1 = (x2 − √

2x + 1)(x2 + √

2x + 1) x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) −x2 = (x2 + x + 1)(x2 −x + 1) 4x4 + 1 = (2x2 −2x + 1)(2x2 + 2x + 1)

Chú ý: Khi đặt ẩn phụxong ta cốgắng đưa vềnhững dạng cơ bản như sau u + v = 1 + uv ⇔(u −1)(v −1) = 0 au + bv = ab + vu ⇔(u −b)(v −a) = 0 Phương trình đẳng cấp bậc hai ax2 + bxy + cy2 = 0 ⇔at2 + bt + c = 0 với t = x

y

Lại lấy Bài 1 ởtrên 1 lần nữa

Giải

Giải phương trình 1 + 2

3

√

x −x2 = √x + √1 −x

Nhận xét: Ta thấy (√x)2 + (√1 −x)2 = 1(**), mà từphương trình đầu ta rút được một căn thức qua căn thức còn lại

Giải

⇔√x = 3√1 −x −3

2√1 −x −3. Do đó nếu đặt t = √1 −x ⇒√x = 3t −3

2t −3 Thay vào (**) ta biến đổi thành t(t −1)(2t2 −4t + 3) = 0 ⇔t = 0; t = 1 hay x = 0; x = 1 là nghiệm của phương trình.2

Page 2