Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng - Phạm Hùng Vương

Diễn đàn Toán học VMF

CHUYÊN ĐỀHỆPHƯƠNG TRÌNH Phạm Hùng Vương Học sinh lớp 12C1 trường THPT Phan Đăng Lưu, NghệAn

I. Lời nói đầu.

Chuyên đềlà kết quảthu được qua một thời gian học tập và nghiên cứu của bản thân về hệphương trình. Tuy nhiên có thểnói rằng, đó là sựkết tinh qua nhiều thếhệ, là sựgiúp đỡ, là sựhọc hỏi từnhững người bạn của mình cũng như rất nhiều yếu tốkhác. Đểđạt hiệu quảcao khi tham khảo chuyên đềnày, xin được trích dẫn mấy lời của nhà giáo G.Polya: " [...] Một sốbài toán có nêu lời giải đầy đủ(tuy vắn tắt), đối với một sốbài khác, chỉ vạch ra mấy bước giải đầu tiên, và đôi khi chỉđưa ra kết quảcuối cùng. Một sốbài toán có kèm thêm chỉdẫn đểgiúp người đọc giải được dễdàng hơn. Chỉdẫn cũng có thểnằm trong những bài toán khác ởgần bài toán đang xét. Nên đặc biệt lưu ý đến những nhận xét mởđầu trước từng bài tập hay cảmột nhóm bài tập gặp thấy trong chương. Nếu chịu khó, gắng sức giải một bài toán nào đó thì dù không giải nổi đi chăng nữa, bạn đọc cũng thu hoạch được nhiều điều bổích. Chẳng hạn, bạn đọc có thểgiởra xem (ởcuốn sách) phần đầu mỗi lời giải, đem đối chiếu với những suy nghĩ của bản thân mình, rồi gấp sách lại và thửgắng tựlực tìm ra phần còn lại của lời giải. Có lẽthời gian tốt nhất đểsuy nghĩ, nghiền ngẫm vềphương pháp giải bài toán là lúc bạn vừa tựlực giải xong bài toán hay vừa đọc xong lời giải bài toán trong sách, hay đọc xong phần trình bày phương pháp giải trong sách. Khi vừa hoàn thành xong nhiệm vụ, và các ấn tượng hãy còn "nóng hổi", nhìn lại những nổlực vừa qua của mình, bạn đọc có thểphân tích sâu sắc tính chất của những khó khăn đã vượt qua. Bạn đọc đọc có thểtựđặt cho mình nhiều câu hỏi bổích: "Khâu nào trong quá trình giải là quan trọng nhất? Khó khăn chủyếu là ởchỗ nào? Ta có thểlàm gì cho tốt hơn? Chi tiết ấy mình cũng đã liếc qua mà không chú ý đến - muốn "nhìn thấy" chi tiết này thì đầu óc phải có tư chất ra sao? Liệu ởđây có một cách gì đó đáng lưu ý đểsau này gặp một tình huống tương tự, ta có thểáp dụng được không?" Tất cả những câu hỏi đó đều hay cả, và cũng còn nhiều câu hỏi bổích khác nữa, nhưng câu hỏi hay nhất chính là câu hỏi tựnhiên nảy ra trong óc, không cần ai gợi ý cả!" (trích "Mấy lời khuyên và chỉdẫn" -G.Polya trong "Sáng tạo toán học") Do thời gian cũng như 1 sốvấn đềkhác như kiến thức, trình bày,.. mà chuyên đềnày còn khá nhiều khiếm khuyết. Rất mong được các bạn quan tâm và chia sẻđềhoàn thiện chuyên đềhơn. Hi vọng nó sẽlà tài liệu bổích giúp chúng ta vượt qua 1 chẳng nhỏtrong chặng đường chinh phục toán học.

II. MỘT SỐPHƯƠNG PHÁP CŨ.

1. Hệphương trình đối xứng kiểu I.

Nhận dạng: Hệđối xứng kiểu I: gồm 2 phương trình ẩn x,y mà vai trò x,y trong mỗi phương trình là như

nhau. Ví dụ: ½ a(x + y)+bxy = c x2 + y2 = c . Và phương pháp giải là đặt ẩn phụ: ½ S = x + y P = xy . Giải tìm S,P

sau đó sửdụng định lí Vi-et, dễthấy x, y là nghiệm của phương trình: X 2 −S.X +P = 0 Cùng xem xét 1 vài ví dụ(cách giải và một sốhướng giải quyết mới)

1

Diễn đàn Toán học VMF

Ví dụ1— (Đềthi HSG lớp 9 Tỉnh Bến Tre năm 2009-2010)

Giải hệphương trình: ½ x2 + y2 −2x −2y = 6 x + y −xy = 5

Lời giải: Đặt S = x + y,P = xy, ta thu được hệmới tương đương:

½ S2 −2P −2S = 6 S −P = 5 ⇔ ½ S2 −4S +4 = 0 P = S −2 ⇔ ½ S = 2 P = −3

Như vậy, theo định lí Vi-ét, x, y là nghiệm của phương trình:

X 2 −2X −3 = 0 ⇔(X −3)(X +1) = 0 ⇒ · x = 3, y = −1 x = −1, y = 3

Vậy hệcó 2 nghiệm (x; y) thỏa mãn là: (−1;3) và (3;−1).

Những bài như thếnày và bài giải như vậy đã trởnên quen thuộc, không còn mới lạ. Tuy nhiện, cũng có 1 sốbài hệ, dù biết là đối xứng kiểu I, nhưng lại phải làm gì đểsửdụng được? Hãy xem ví dụ:

Ví dụ2— (ĐH-CĐ Khối A năm 2006)

Giải hệphương trình: ½ x + y −pxy = 3 p

x +1+ p

y +1 = 4

Lời giải:

Ý tưởng 1: Bình phương hai vếcủa pt dưới hệthành

½ x + y −pxy = 3 x + y +2+ p

xy + x + y +1 = 16

Thửđặt như cũ: S = x + y,P = xy, hệkhi đó trởthành:

½ S − p

P = 3 S +2 p

P +S +1 = 14 ⇔

( S = p

P +3

2 p

P + p

P +4 = 11− p

P ⇔

  

 

S = p

P +3 3P −26 p

P −105 = 0 0 ≤P …