60 bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số điển hình - Phạm Văn Bình

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Nếu hệ có một trong hai phương trình ta dưa về dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T thì khi đó ta khảo sát một hàm số đặc trưng : y=f(t) trên T . Nếu f(t) là đơn điệu thì để f(x)=f(y) chỉ xảy ra khi x=y . Trong phương pháp này khó nhất là các em phải xác định được tập giá trị của x và y , nếu tập giá trị của chúng khác nhau thì các em không được dùng phương pháp trên mà phải chuyển chúng về dạng tích : f(x)-f(y)=0 hay : (x-y).A(x;y)=0 Khi đó ta xét trường hợp : x=y , và trường hợp A(x,y)=0 . Sau đây là một số bài mà các em tham khảo .

Bài 1 Giải hệ phương trình sau :

   

2 3 4 6

2 2 2

2 1 1

x y y x x

x y x

         . - Phương trình (1) khi x=0 và y=0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) ).

- Chia 2 vế phương trình (1) cho 

3 3 3 0 1 2 2 y y x x x x x                   - Xét hàm số :   3 2 2 ' 2 3 0 f t t t f t t t R       . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để phương trình

có nghiệm thì chỉ xảy ra khi : 2 y x y x x    . -thay vào (2) :

      2 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2; x x x x t x t x t t x          

2 2

2 1 2 3 3. 1

x x x

x x x

            

Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)=   3;3 , 3;3 

Bài 2. Giải hệ phương trình sau :

2 6 2

2 3 2

x y x y y

x x y x y

            

.

Giải

   2 2 6 2 2 2 2 3 0 2 2 6 0

2 3 2 2 3 2 2 3 2

x y x y x y y x y y x y y x y y y x x y x y x x y x y x x y x y

                                             

- Trường hợp 1: 2 0 2 2 2 4

y x y y x y y

      

.

Thay vào (2) 2 2 2 2 4 5 2 2 4 5 2 4 7 2 0 x y y y y y y y y             

- Trường hợp :  2 2 0 0 2 3 * 2 9 9 2

y y x y y x y y x y y

               

.

Thay vào (2) : 2 2 2 2 9 2 3 9 2 3 2 9 5 9 5 2 0 y y y y y y y y y y             

2 2 2 2 2

1 9 2 7 2 9 5 0 9 5 4 0 4 16 4 264 88 9 2. 9 5 2 2 0 9 91 9 9 3

y x t t y y y y y y y t t

                                     

Vậy hệ có nghiệm :     88 4 ; 7; 1 , ; 3 9 x y        

Bài 3 Giải hệ phương trình sau :

2 2

2

2 1 xy x y x y

x y x y

           

Giải

a. 



2 2

2

2 1 1

2

xy x y x y

x y x y

           

. Từ (2) viết lại :  

2 2 2 x y x y x x x y x y x x           

Ta xét hàm số f(t)=    2 0 ' 2 1 0 0 t t t f t t t       . Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên

ta có : 2 x y x y x x      . (*)

Thay vào (1) :        

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 0 x x x xy x y x x x x x x x x x

             

           2 2 3 2 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 ** 1 2 3 0 1 3 0

x x x x x x x x x x x x x x

                              

Thay vào (*) :      2 1; 2 ; 1;2 , 1;0 1; 0 x y y x x x y x y            

Bài 4. Giải hệ phương trinh :  

 

2 2

2

1 8 1 2 2 4 3 2

3 7 2 2 2

y x

x y

y x

x y

 



         

Từ .  

  

2 2

2

1 8 1 2 2 4 3 2 1

3 7 2 2 2 2

y x

x y

y x

x y

 



         

. - Điều kiện : , 0 x y  - Từ (1) :      

4 4 2 2.2 3 2.2 3 2 x y x y    

- Xét hàm số :   4 3 ( ) 2. 3 0 '( ) 8 3 0 f t t t t f t t        . Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến .

Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi :  2 4 * x y x y   

- Thay vào (2) :    

4 5 3 7 2 5 2 2

y y   . Xét hàm số : f(t)=

4 4 3 3 3 2 '( ) 4 .2 0 2 2

t t f t t      .

- Nhận xét : f(1)=2+ 3 7 2 2  . Suy ra t=1 là nghiệm duy nhất .  

1 4 4 1 5 ; ; 4 5 5 5 1 5

y x y x y y x

                       

Bài 5. Giải hệ phương trình sau :    2 2 1 1 1

6 2 1 4 6 1

x x y y

x x xy xy x

            

Từ :.         

2 2 2 2 1 1 1 1 1

6 2 1 4 6 1 6 2 1 4 6 1

x x y y x x y y

x …