Sáng tác phương trình và hệ phương trình - Nguyễn Tài Chung

Mục lục

Lời nói đầu 2

1 3

1.1 Một sốphương pháp sáng tác và giải các bài toán vềphương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Xây dựng một sốphương trình được giải bằng cách đưa vềhệ phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Sửdụng công thức lượng giác đểsáng tác các phương trình đa thức bậc cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3 Sửdụng các đồng nhất thức đại sốcó xuất sứtừcác hàm lượng giác hypebôlic đểsáng tác các phương trình đa thức bậc cao. . . 14

1.1.4 Sáng tác một sốphương trình đẳng cấp đối với hai biểu thức . . 17

1.1.5 Xây dựng phương trình từcác đẳng thức. . . . . . . . . . . . . 24

1.1.6 Xây dựng phương trình từcác hệđối xứng loại II. . . . . . . . . 27

1.1.7 Xây dựng phương trình vô tỉdựa vào tính đơn điệu của hàm số. 30

1.1.8 Xây dựng phương trình vô tỉdựa vào các phương trình lượng giác. 35

1.1.9 Sửdụng căn bậc n của sốphức đểsáng tạo và giải hệphương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.1.10 Sửdụng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác đểsáng tạo ra các phương trình lượng giác hai ẩn và xây dựng thuật giải. . . . 47

1.1.11 Sửdụng hàm ngược đểsáng tác một sốphương trình, hệphương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1

Chương 1

1.1 Một sốphương pháp sáng tác và giải các bài toán về phương trình, hệphương trình

Như chúng ta đã biết phương trình, hệphương trình có rất nhiều dạng và phương pháp giải khác nhau. Người giáo viên ngoài nắm được các dạng phương trình và cách giải chúng đểhướng dẫn học sinh cần phải biết xây dựng lên các đềtoán đểlàm tài liệu cho việc giảng dạy. Bài viết này đưa ra một sốphương pháp sáng tác, quy trình xây dựng nên các phương trình, hệphương trình. Qua các phương pháp sáng tác này ta cũng rút ra được các phương pháp giải cho các dạng phương trình, hệphương trình tương ứng. Các quy trình xây dựng đềtoán được trình bày thông qua những ví dụ, các bài toán được đặt ngay sau các ví dụđó. Đa sốcác bài toán được xây dựng đều có lời giải hoặc hướng dẫn. Quan trọng hơn nữa là một sốlưu ý sau lời giải sẽgiúp ta giải thích được "vì sao lại nghĩ ra lời giải này".

1.1.1 Xây dựng một sốphương trình được giải bằng cách đưa vềhệphương trình.

Ví dụ1. Xét hệđối xứng loại hai x = 2 −3y2

y = 2 −3x2 ⇒x = 2 −3 2 −3x2 2 .

Ta có bài toán sau

Bài toán 1 (THTT, số250, tháng 04/1998). Giải phương trình

x + 3 2 −3x2 2 = 2.

Giải. Đặt y = 2 −3x2. Ta có hệ x + 3y2 = 2 y = 2 −3x2 ⇔ x = 2 −3y2 (1) y = 2 −3x2 (2)

3

Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai. CHƯƠNG 1.

Lấy (1) trừ(2) ta được

x −y = 3(x2 −y2) ⇔ x −y = 0 3(x + y) = 1 ⇔

" y = x

y = 1 −3x

3 .

• Với y = x, thay vào (1) ta được

3x2 + x −2 = 0 ⇔x ∈ −1, 2

3

.

• Với y = 1 −3x 3 , thay vào (2) ta được

1 −3x

3 = 2 −3x2 ⇔9x2 −3x −5 = 0 ⇔x = 1 ± √

21 6 .

Phương trình đã cho có bốn nghiệm

x = −1, x = 2

3, x = 1 − √

21 6 , x = 1 + √

21 6 .

Lưu ý. Từlời giải trên ta thấy rằng nếu khai triển (2 −3x2) 2 thì sẽđưa phương trình đã cho vềphương trình đa thức bậc bốn, sau đó biến đổi thành

(x + 1)(3x −2)(9x2 −3x −5) = 0.

Vậy nếu khi xây dựng bài toán, ta cốý làm cho phương trình không có nghiệm hữu tỉthì phương pháp khai triển đưa vềphương trình bậc cao, sau đó phân tích đưa về phương trình tích sẽgặp nhiều khó khăn.

Ví dụ2. Xét một phương trình bậc hai có cảhai nghiệm là sốvô tỉ

5x2 −2x −1 = 0 ⇔2x = 5x2 −1.

Do đó ta xét 2y = 5x2 −1 2x = 5y2 −1 ⇒2x = 5 5x2 −1

2

2 −1

Ta có bài toán sau

Bài toán 2. Giải phương trình 8x −5 (5x2 −1)2 = −8.

Giải. Đặt 2y = 5x2 −1. Khi đó 2y = 5x2 −1 8x −5.4y2 = −8 ⇔ 2y = 5x2 −1 (1) 2x = 5y2 −1. (2)

4