Chuyên đề hệ phương trình - hệ bất phương trình - Nguyễn Tất Thu

Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.

210

§ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Là hệ có dạng:

ax by c

a x b y c

+ =  ′ ′ ′ + =  trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số thực cho

trước và a, b, a’, b’ không đồng thời bằng không.

Cách giải: Dùng định thức Crame

Ta có các định thức: x y

a c a b c b D ; D ; D a c a b c b = = = ′ ′ ′ ′ ′ ′ .

* Nếu D 0 ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất: y x D D x ; y D D = = .

* Nếu x y D D D 0 = = = thì hệ vô số nghiệm:

x

c ax y (b 0) b

∈  −  = ≠ 

¡

.

* Nếu x

y

D 0

D 0

D 0

=   ≠    ≠  

thì hệ đã cho vô nghiệm.

II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 4.1.1. Cho hệ phương trình: mx y m 2

4x my 3m 2

+ = +   + = + 

1. Giải và biện luận hệ đã cho

2. Tìm m để hệ đã cho nghiệm duy nhất (x; y) sao cho 2 2 P 2x y = + nhỏ nhất.

Lời giải.

1. Ta có: 2 m 1 D m 4 (m 2)(m 2) 4 m = = − = − +

2 x

m 2 1 D m m 2 (m 1)(m 2) 3m+2 m

+ = = − − = + −

2 y

m m 2 D 3m 2m 8 (m 2)(3m 4) 4 3m 2

+ = = − − = − + +

• D 0 m 2 ≠ ⇔ ≠± hệ đã cho có nghiệm duy nhất:

CHUYÊN ĐỀ - WWW.TOANMATH.COM

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

211

x

y

D m 1 x D m 2 D 3m 4 y D m 2

+ = =  +  +  = =  +

• D 0 m 2 = ⇔ = ± +) Với x m 2 D 0 = −⇒ ≠ nên hệ đã cho vô nghiệm

+) Với m 2 = , ta có hệ 2x y 4 x

4x 2y 8 y 4 2x

+ = ∈   ⇔   + = = −  

¡ .

2. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 2 ≠±

Khi đó:

x

y

D m 1 x D m 2 D 3m 4 y D m 2

+ = =  +  +  = =  +

nên

2 2 2

2 m 1 3m 4 11m 28m 18 P 2 m 2 m 2 m 4m 4

+ + + +     = + =     + +     + +

Ta có 3 4(4m 5) 5 P' P' 0 m 4 (m 2)

+ = ⇒ = ⇔ = − + .

Do đó ta có: 1 minP 3 = đạt được khi 5 m 4 = − .

Vậy 5 m 4 = − là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4.1.2. Tùy theo giá trị của tham số m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức ( ) ( ) 2 2 P x 2my 1 mx 2y 2m 1 = − + + − + − .

Lời giải.

Xét hệ phương trình x 2my 1 0 x 2my 1

mx 2y 2m 1 0 mx 2y 2m 1

− + = − = −   ⇔   − + − = − = − +   (*)

Ta có: ( ) 2 1 2m D 2 m 1 , m 2

− = = − −

( ) 2 x

1 2m D 2 2m(2m 1) 2 2m m 1 2m 1 2

− − = = − − = − + + − + − ,

y

1 1 D m 1 m 2m 1

− = = − + − + .

• Nếu m 1 ≠− thì hệ (*) có nghiệm nên minP 0 =

• Nếu m 1 = − thì ta có: ( )

2 2 P x 2y 1 (x 2y 3) = + + + + +

Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.

212

Đặt t x 2y 1 = + + , suy ra 2 2 2 2 P t (t 2) 2t 4t 4 2(t 1) 2 2 = + + = + + = + + ≥

Đẳng thức xảy ra khi t 1 x 2y 2 0 = −⇔ + + = . Do đó minP 2 = .

Vậy 0 khi m 1 minP 2 khi m 1

≠−  =  = −  .

Ví dụ 4.1.3. Giải hệ phương trình:

2 2

2 2 x y x y 4 0

2x xy y 5x y 2 0

 + + + − = 

+ − − + + =  .

Lời giải.

Cách 1: Đặt 2 t x = . Khi đó hệ trở thành:

2

2 t x y y 4

2t (y 5)x y y 2

+ = − − + 

+ − = − − 

Xét hệ bậc nhất hai ẩn t và x.

Ta có: 1 1 D y 7 2 y 5 = = − − ,

2 2 x 2 1 y y 4 D 3y y 10 2 y y 2

− − + = = + − − −

2 3 2 t 2 y y 4 1 D y 3y 10y 18 y y 2 y 5

− − + = = − + + − − − − .

Vì y 7 = không là nghiệm của hệ nên suy ra:

t

x

D t D D 0 D x D

=  ≠ ⇒ = 

.

Vì

2 2 t x 2 D D t x D D = ⇒ =

2 3 2 2 2 t x D .D D (y 7)( y 3y 10y 18) (3y y 10) ⇔ = ⇔ − − + + − = + −

4 3 2 2 2 5y 2y 24y 34y 13 0 (y 1) (5y 8y 13) 0 ⇔ − − + − = ⇔ − + − =

y 1 x 1

13 4 y x 5 5

= ⇒ =   ⇔ = − ⇒ = − 

.

Vậy hệ có hai nghiệm: 4 13 (x;y) (1;1), ; 5 5   = − −    

.

Cách 2: Ta có 2 2 2x xy y 5x y 2 0 + − − + + = 2 2 2x (y 5)x y y 2 0 ⇔ + − − + + = (*)

2 2 2 2 x (y 5) 8( y y 2) 9y 18y 9 (3y 3) ∆ = − − − + + = − + = −

Nên (*) có hai nghiệm: y 1 x 2

+ = và x 2 y = − .