Tuyển tập hệ phương trình - Mẫn Ngọc Quang

Tất cả vì học sinh thân yêu

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

1 CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

Tất cả vì học sinh thân yêu

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

2 CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

GIẢI HPT – PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Bài 1: Giải hệ phương trình

10 6 5 4

2 2 2

5 2 1 6

x x y x y

x y

          ( ,x y )

Bài giải:

Điều kiện: 1 2 1 0 2 y y   -

- Xét x=0, từ pt đầu suy ra y=0, thay x=y=0 vào pt thứ hai không thỏa mãn (loại)

- Xét 0 x  , chia 2 vế của pt đầu cho 5 0 x  , ta được

5 5 2 2 y y x x x x æ ö æ ö    ç ÷ ç ÷ è ø è ø

(1)

Xét hàm số 

5 2 , f t t t t   . Ta có  ' 4 5 2 0, f t t t    .

Vậy hàm số 

5 2 f t t t   đồng biến trên . Do đó (1) 2 y x y x x     . Thay vào pt thứ

2 của hệ ta được: 5 2 1 6 y y    (2)

Xét hàm số 1 ( ) 5 2 1, 2 g y y y y     - .

Ta có

' 1 1 1 ( ) 0, 2 2 5 2 1 g y y y y    -   . Vậy g(y) đồng biến trên khoảng 1 ; 2 æ ö -  ç ÷ è ø

.

Mà g(4)=6 nên (2) 4 y  

Tất cả vì học sinh thân yêu

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

3 CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

Suy ra 2 2 4 4 x y x y

       hoặc 2 4 x y

-    

Bài 2: Giải hệ phương trình 

     

3 2

2 2

( 1) 1

3 2 9 3 4 2 1 1 0 2

xy x x y x y

y x y x x

     -          

Bài giải:

Biến đổi PT    2 2 (1) 1 0

1

y x x y x y y x

   - -      

x = y thế vào PT (2) ta được:

    

       

   

2 2

2 2

3 2 9 3 4 2 1 1 0

2 1 2 1 3 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 3

2 1 3

x x x x x

x x x x

f x f x

       

     -  - 

   -

Xét   2 ( ) 3 2 f t t t    có '( ) 0, . f t t  

f là hàm số đồng biến nên: 1 1 2 1 3 5 5 x x x y -  -  -

 2 1 y x   thế vào

(2)     2 2 2 2 3( 1) 2 9 3 4 1 2 1 1 0 x x x x x         

Tất cả vì học sinh thân yêu

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

4 CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

Vế trái luôn dương, PT vô nghiệm.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: 1 1 ; . 5 5 æ ö - - ç ÷ è ø

Bài 3: Giải hệ phương trình sau . 



3 3

3 2 3

3( ) 6 ( 2) 14 1

27 27 20 4 4. 2 1 2

x y x y y y

x x x y x

     -        - 

Bài giải:

Phương trình (1) 14 15 6 3 2 3 3  -  -    y y y x x

    y y x x -  -    2 3 2 3 3 3

Xét hàm số: t t t f 3 ) ( 3   liên tục trên R.

Ta có 0 3 3 ) (' 2   t t f với   R t   hàm số đồng biến trên R.

x y y x y f x f pt -   -   -  2 2 ) 2 ( ) ( :

Thế y = 2-x vào phương trình (2) ta được.

  3 3 3 2 3 1 4 1 )1 3 ( 4 1 3 1 4 4 20 2 27              x x x x x x x x

Xét hàm số: t t t g 4 ) ( 3   liên tục trên R.

Ta có 0 4 3 ) (' 2   t t g hàm số đồng biến trên R.

Suy ra: 1 1 9 27 27 1 1 3 ) 1 ( )1 3 ( 2 3 3 3              x x x x x x x g x g