Chuyên đề phương trình và bất phương trình - Mẫn Ngọc Quang

Tất cả vì học sinh thân yêu

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy. vn/

1

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình căn thức Dạng 1. Phương pháp nâng lũy thừa. Kiến thức cơ bản:

 Phương trình   

  2 0 g x f x g x

f x g x

      

 Phương trình  

 

 

0

0

f x

f x g x g x

f x g x

        

Ví dụ 1. Giải phương trình   2 5 4 x x x    .

Lời giải. Điều kiện: 5 2 x . Phương trình đã cho tương đương với:

 

  

2 2

2

4 0 4 2 5 4

2 5 8 16 2 5 4

4 4 7 3 7 0 10 21 0

x x pt x x x x x x x

x x x x x x x

                                                

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 7 x  .

Ví dụ 2. Giải phương trình   2 2 4 2 x x x x     .

Lời giải. Điều kiện: 2 x  . Phương trình đã cho tương đương với:

2 2 2 2 1 2 2 4 2 3 2 0

x x x pt x x x x x x

                             

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là   1; 2 x  .

Ví dụ 3. Giải phương trình

  7 4 1 5 6 2 2 3 x x x x x        

Lời giải. Điều kiện: 3 2 x . Nhận xét rằng   4 2 4 5 9 x x x x x     , chuyến vế, bình phương phương

trình đã cho ta được:

Tất cả vì học sinh thân yêu

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy. vn/

2

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

     

     

  

7 2 2 3 5 6 4 1

9 5 2 7 8 12 9 5 2 5 6 4 1

3 7 8 12 5 6 4 1 2 4 13 2 0

pt x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

       

        

            

Suy ra 13 2; 4 x x   . Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên. Ví dụ 4. Giải phương trình

 

3 2 1 1 1 3 3 x x x x x x x           

Lời giải. Điều kiện: 1 x .

Chú ý hằng đẳng thức    3 2 1 1 1 x x x x     , nên phương trình đã cho được viết lại thành:

   2

2 1 1

1 1 3 3

x x x x x x x x

  

       

 

2 2

2 2

2

1 1 1 1 3 3

1 1 3 1 3 3

1 3 0

1 1 3

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x ptvn x x

                      

                           

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn toàn. Kiến thức cơ bản:  Đặt ẩn phụ hoàn toàn, đặt  t A x  đưa về phương trình ẩn t .

 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt  t A x  phương trình sau khi biến đổi chứa hai ẩn ,t x và xét

đenta chính phương.  Phương trình tổng quát dạng:

Tất cả vì học sinh thân yêu

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy. vn/

3

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

    a A x b B x c A x B x dC x D    

A, Đặt ẩn phụ hoàn toàn. Ví dụ 1. Giải phương trình

  2 2 3 1 3 2 2 5 3 16 x x x x x x         

Lời giải. Điều kiện: 1 x .

Đặt 2 3 1 0 t x x      suy ra 2 2 3 4 2 2 5 3 t x x x      . Khi đó phương trình đã cho trở thành:

  

2 2 0 4 16 20 0 5 5 4 0

t t t t t t t t

              

Do đó 2 2 3 1 5 3 4 2 2 5 3 25 x x x x x          

   

2

2 2

21 1 3 2 2 5 3 21 3 3 4 2 5 3 21 3

x x x x x x x x

                 

.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 3 x  . Ví dụ 2. Giải phương trình

  2 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 x x x x x x         

Lời giải. Điều kiện: 1 x .

Đặt 7 7 7 6 0 t x x      suy ra 2 2 14 1 2 49 7 42 t x x x     . Khi đó phương trình đã cho trở thành:

  

2 2 0 1 181 182 0 13 13 14 0

t t t t t t t t

             

Do đó 2 7 7 7 6 13 14 1 2 49 7 42 169 x x x x x          .

   

2

2 2 2

6 12 7 49 7 42 84 7 6 49 7 42 84 7

x x x x x x x x

                 …