Bí kíp giải hệ phương trình chỉ trong 10 phút - Đỗ Duy Thành

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Chuyên đề 1. Phƣơng pháp miền giá trị giải hệ phƣơng trình

4 2

2 2

697 (1) 81 3 4 4 0 (2)

x y

x y xy x y

           

Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x :

2 2 ( 3) 4 4 0 x y x y y       Phương trình có nghiệm 0 

2 2

2 2

2

( 3) 4( 4 4) 0

6 9 4 16 16 0

3 10 7 0 7 1 3

y y y

y y y y

y y

y

     

      

   

 

BÍ KÍP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHỈ TRONG 10 PHÚT

- Khi máy tính casio bó tay - Khi các kỹ năng phân tích nhân tử đưa về phương trình tích vô hiệu hóa Các em học sinh sẽ phải xử lý thế nào ? Hãy áp dụng những phương

pháp cực hữu ích sau đây

1. Dấu hiệu nhận biết:

 Trƣờng hợp 1: Hệ có 1 trong 2 phương trình là bậc 2 với ,x y .

Cách giải: Coi phương trình là bậc 2 ẩn x , giải 0   điều kiện của .y Coi phương trình là bậc 2 ẩn y , giải 0   điều kiện của .x

Dùng điều kiện của ,x y để đánh giá phương trình còn lại.

 Trƣờng hợp 2: Hệ có 2 phương trình cùng là bậc hai với x (hoặc cùng là bậc hai với y ). Cách giải: Với phương trình (1), coi x là ẩn, giải 0   điều kiện của .y Với phương trình (2), coi x là ẩn, giải 0   điều kiện của .y

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn y :

2 2 ( 4) 3 4 0 y x y x x       Phương trình có nghiệm 0 

2 2

2 2

2

( 4) 4( 3 4) 0

8 16 4 12 16 0

3 4 0 4 0 3

x x x

x x x x

x x

x

     

      

  

  

7 4 1, , 0, 3 3 y x              

thì

4 2 4 2 4 7 697 3 3 81 x y                 

VT(1) VP(1), do đó

VT(1)=VP(1) khi 4 7 , 3 3 x y   . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 4 7 , 3 3      

.

Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình

2 2

2 2

7 (2 1)(2 1) (1) 2 7 6 14 0 (2)

x y xy

x y xy x y

            

Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x :

2 2 ( 7) 6 14 0 x y x y y       Phương trình có nghiệm 0 

2 2

2 14 49 4 24 56 0

3 10 7 0

7 1 3

y y y y

y y

y

      

   

 

Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn y :

2 2 ( 6) 7 14 0 y x y x x       Phương trình có nghiệm 0 

2 2

2 12 36 4 28 56 0

3 16 20 0 10 2 3

x x x x

x x

x

      

   

  

0 x y   không là nghiệm của hệ.

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

1 1 7 (1) 2 2 (3) 2 x y x y              

Đặt    ' 2 1 1 2 2 0 f t t f t f t t t        đồng biến trên ( ;0)  và (0; ) .

 Xét

 1 1 7 1 89 7 1; 1 2 1; . 7 89 3 21 3 3 21

f t y y y f

                              

 Xét

 7 2 2 10 7 1 191 10 2; 2 2; . 10 191 3 2 30 3 3 30

f t x x x f

                                

7 VT (3) . 2   Dấu “=” xảy ra 1 2 x y     

Ví dụ 3: Giải hệ phƣơng trình

2 2 2

2 3 2 0 (1) 2 4 3 0 (2) x y x y x x y

        

Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x :

2 2 2 2 0 x y x y    .

Phương trình có nghiệm 4 ' 0 1 0 1 1 y y     . (3) Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x :

2 3 2 4 3 0 x x y    .

Phương trình có nghiệm   3 3 ' 0 4 2 3 0 1 0 1 y y y         . (4)

Từ (3) và (4) 1. y   Thay vào hệ ta được x=1. Vậy hệ có nghiệm (1;-1).

2. Bài tập tự luyện

3 2

2 2 2 0 x y x xy y y

        

. Vậy hệ có nghiệm (1;2).