Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá - Đinh Xuân Hùng

I.LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình-Hệ phương trình-Bất đẳng thức có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.Đây cũng chính là những phần quan trọng nhất của đại số.Nó thường xuyên xuất hiện trong kì thi tuyển sinh Đại Học (THPT QG) hay các kì thi HSG.Ta cần có những phương trình,hệ phương trình để dự đoán được điểm rơi của BĐT hay trong quá trình sáng tác một Bất đăng thức sẽ nảy sinh ra nhu câu tìm nghiệm của Phương trình-Hệ phương trình-Bất đẳng thức.Qua đấy có thể nói việc giải tốt PT-HPT là rất quan trọng.Nhiều bài toán về PT-HPT-BĐT là sự che dấu của một BĐT nào đó.Chúng ta cần phải linh hoạt khi sử dụng BĐT vào giải PT-HPT.Vì nếu không dùng đúng thì sẽ dẫn đến kết quả không như mong muốn.Giải PT bằng phương pháp bằng đánh giá chính là một sự kết hợp tuyệt vời giữa BĐT và PT

Đã có rất nhiều tài liệu,sách viết về PT.Tuy vậy,những bài viết về Giải PT bằng phương pháp bằng đánh giá chưa đề cập toàn diện về như cách giải hay là phương pháp sáng tác.Vì vậy,trong tài liệu này sẽ đề đi sau vào cách giải PT bằng phương pháp đánh giá (Một trong những phương pháp hay và khó khi GPT)

Hy vọng nó sẽ là tài liệu hay giúp cho các bạn hiểu rõ hơn về Phương pháp này

Trong tài liệu này sẽ có ba mục:

Mục 1:Nhắc lại một số BĐT hay dùng khi giải phương trình,phương pháp giải PT vô tỷ bằng phương pháp đánh giá

Mục 2:Một số ví dụ và cách sáng tác phương trình bằng phương pháp đánh giá

Mục 3:Tổng hợp bài tập

Sai sót là điều không thể tránh khỏi trong bài viết này,vì thế xin trân trọng đón nhận mọi sự góp ý và nhận xét của các bạn và thầy cô.

Mọi ý kiến thắc mắc gửi vào gmail:xuanhung312000@gmail.com

Các thành viên tham gia viết chuyên đề

Chủ biên:Đinh Xuân Hùng (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình)

Các thành viên tham gia viết chuyên đề:

1.Nguyễn Khánh Trường (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình)

2.Hoàng Trung Hiếu (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình)

3.Vũ Minh Hạnh (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình)

4.Tống Đức Khải (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình)

5.Nguyễn Thị Thu Trang(Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình)

6.Bùi Thị Thùy Linh (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình)

7.Phạm Thị Phương Loan (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình)

8.Đào Thị Thanh Huyền (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình)

9.Lê Anh Quang (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình)

Xin cảm ơn cô Ngô Thị Hoa (Cô giáo chủ nhiệm Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) đã hướng dẫn cũng như các ví dụ về Phương Pháp Giải PT bằng đánh giá.Cô chính là người khởi xướng việc viết chuyên đề này.

♥Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình♥

II. Nhắc lại một số BĐT hay dùng khi giải phương trình,phương pháp giải PT vô tỷ bằng phương pháp đánh giá Các BĐT hay dùng [1].Bất đẳng thức AM-GM Cho n số thực dương n a a a ,..., , 2 1 ta luôn có BĐT

n n n a a a n a a a ... . . ... 2 1 2 1     Dấu “=” xảy ra khi n a a a    ... 2 1 [2].Bất đẳng thức Cauchy-Schwar (C-S) Cho 2 bộ số   n a a a ;...; ; 2 1 và   nb b b ;...; ; 2 1 ta luôn có BĐT

  2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 .... ) ... )( ... ( n n n n b a b a b a b b b a a a          

Dấu “=” xảy ra khi

n

n b a b a b a    ...

2

2

1

1

Một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwar rất hay dùng:

 

n

n

n

n b b b a a a b a b a

b

a           ... ... ....

2 1

2 2 1 2

2

2 2

1

2 1

Với điều kiện nb b b ;...; ; 2 1 là các số dương

Dấu “=” xảy ra khi

n

n b a b a b a    ...

2

2

1

1

[3].Bất đẳng thức Minkowski (Hay còn gọi là phương pháp tọa độ) Cho 2 bộ số   n a a a ;...; ; 2 1 và   nb b b ;...; ; 2 1 ta luôn có BĐT

     

2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 .... ... ... n n n n b a b a b a b b b a a a              

Dấu “=” xảy ra khi

n

n b a b a b a    ...

2

2

1

1

[4].Bất đẳng thức Holder Với m dãy số dương      n m m m n n a a a a a a a a a . 2 , 1, ,2 2 ,2 1,2 ,1 2 ,1 1,1 ;...; ; ,..., ;...; ; , ;...; ; ta có

m n

i

m

m

i j i

n

j j i a a  

  …