Tuyển tập những bài phương trình, hệ phương trình hay - Nguyễn Đức Thắng

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY (sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 2

LỜI NÓI ĐẦU

Những bài phương trình, hệ phương trình đẹp và hay là niềm đam mê một thời cûa nhiều học

sinh cçp 2 và cçp 3. File này mình tuyển chọn và trình bày läi những bài phương trình, hệ

phương trình mà mình câm thçy hay !

Mình lçy các đề toán và lời giâi từ nhiều nguồn:

Về đề bài:

 Các bài toán trong Nhóm Toán, Nhóm LIKE, Nhóm Giao lưu Toán (Diễn đàn Toán

học BoxMath), Nhóm Học tập, ...

 Các bài toán trong các file sách cûa BoxMath, k2pi, VMF, Mathscope, ...

 Các bài toán trong sách Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PHƯƠNG TRÌNH, BẤT

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỈ – tác giâ Lê Văn Đoàn;

Những điều cần biết Luyện thị Quốc gia Kỹ thuật giải nhanh HỆ PHƯƠNG TRÌNH –

tác giâ Đặng Thành Nam; ...

 Các bài toán trong đề thi thử THPTQG

Về lời giải:

 Các lời giâi cûa thæy Trung Nguyentien, thæy Tran Quoc Thinh, Duong Van Vu,

Phùng Quyết Thắng, Phong Hong, Bùi Hùng Vương, Sơn Huỳnh Phú, Chau Thanh

Hai, ...

 Các lời giâi cûa bän Nguyễn Văn Lợi, Hùng Nolan, Ngô Văn Tiệp, Nguyễn Nam,

Træn Lương, Dinh De Tai, Peter Thái Học, ...

 Một vài bài là lời giâi cûa mình

Chúc các bän học tốt !

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY (sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 3

Bài 1: Giâi hệ phương trình

2 2

2 2

12

12

x y x y

y x y

    

  

Cách 1:

Thế 2 2 12 x y x y     từ phương trình thứ nhçt xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được

  12 12 y x y   hay

2 12 12 12 12 y y x y y y       (1)

Thế vào phương trình thứ hai cûa hệ, ta được

2 2

2 12 12 12 y y y y y           

(nhận thçy 0 y  không là nghiệm cûa phương trình)

2 2

2 2 144 12 12 y y y y y              

2 2 4 12 12 144 y y y         4 3 0 y y y    

5

3

5

4

x

y

x

y

              

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là     ; 5;3 ; 5;4 x y 



Cách 2:

Trường hợp 1: 0 x y  

Đặt x y a   và x y b   thì ta có hệ  

2

2 2

12

24

b ab

b a ab

      

Nhận thçy phương trình thứ hai có bậc 4 và phương trình thứ nhçt có bậc 2 nên ta bình phương

hai vế phương trình thứ nhçt để thế vào phương trình thứ hai

Hệ suy ra     2 2 2 2 6 0 b ab ab b a         3 2 0 b b a b a b a     

Từ đó dễ dàng suy ra nghiệm   ;x y

Trường hợp 2: y x 

Đặt y x a   và x y b   thì ta có hệ  

2

2 2 12

12

ab b

ab a b

      

Thực hiện tương tự trường hợp 1 đã xét.

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY (sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 4



Cách 3:

Phương trình thứ nhçt cûa hệ suy ra 2 2 12 x y x y      

2 2 2 12 x y x y     

2 12 72 12 y y x y      

(2) (sau khi xét 12 y  khôn thôa mãn hệ phương trình trên)

Từ (2) có thể kết hợp với (1) để tìm y .



Bài 2: Giâi phương trình:

  3 2 3 3 3 1 2 1 2 x x x    

Cách 1:

Điều kiện để phương trình có nghiệm:  

3 3 3 3 3 1 2 1 2 2 2 x x     

  3 3 3 3 2 2 0 2 x x     

   

2

2 2 3 3 3 3 3 3 3 0 2 2 2. 2 2

x x

x x

                

0 x  

Phương trình tương đương

  3 2 3 3 3 1 2 1 2 x x x    

   3 3 2 4 2 5 4 3 1 7 1 0 x x x x        

  

     

   2

2 2 2 3 3 3 3

1 63 78 3 1 15 0 4 3 1 7 1 16 2 4 5 2 5

x x x x x

x x x x x x

               

 

     

2

2 2 2 3 3 3 3 63 78 3 15 1 0 4 3 1 7 1 16 2 4 5 2 5

x x x x

x x x x x x

                        

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Cách 2:

Xét 2 x  thì  

3 2 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2 x x x x        2 5 6 0 4 x x     (vô lý)