Nghiên cứu định lý Viète và ứng dụng - Nguyễn Thành Nhân

October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG]

1 Nghiên cứu định lý Viète và ứng dụng | ▫▪ mathvn.com

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIÈTE

ĐẠI SỐ SƠ CẤP

A. LỊCH SỬ.

François Viète, Seigneur de la Bigotière ( tiếng Latinh : Franciscus Vieta ; 1940 - 23 tháng 2 năm 1603) là một nhà toán học người Pháp có công trình về đại số mới là một bước tiến quan trọng đối với đại số hiện đại, do việc sử dụng sáng tạo các chữ cái làm tham số trong phương trình và đồng thời ứng dụng chúng trong việc biến đổi và giải phương trình. Ông là một luật sư về thương mại, và từng là ủy viên hội đồng bí mật cho cả Henry III và Henry IV của Pháp.

Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình. Ông còn là một chuyên gia về giải các mật mã trong thế chiến giữa Pháp và Tây Ban Nha.

Ông mất năm 1603.

 Thành tựu nổi bật: Đại số mới.

Nền

Vào cuối thế kỷ 16, toán học được đặt dưới sự bảo trợ kép của người Hy Lạp, họ đã mượn các công cụ của hình học và người Ả Rập, những người cung cấp các thủ tục cho phép giải. Vào thời của Viète, đại số do đó dao động giữa số học, điều này làm xuất hiện một danh sách các quy tắc và hình học có vẻ chặt chẽ hơn.

Đại số biểu tượng của Viète

Viète đã tạo ra nhiều đổi mới: công thức nhị thức , sẽ được Pascal và Newton lấy, và các hệ số của đa thức thành tổng và tích các gốc của nó , được gọi là công thức Viète .

Đại số hình học

Viète rất thành thạo trong hầu hết các công cụ hiện đại, nhằm mục đích đơn giản hóa các phương trình bằng cách thay thế các đại lượng mới có mối liên hệ nhất định với các đại lượng chưa biết ban đầu. Một tác phẩm khác của ông, Recensio canonica effectionum learningarum , mang dấu ấn hiện đại, sau này được gọi là hình học đại số — một bộ sưu tập các giới thiệu cách xây dựng các biểu thức đại số chỉ với việc sử dụng thước và compass.

October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG]

2 Nghiên cứu định lý Viète và ứng dụng | ▫▪ mathvn.com

B. ĐỊNH LÝ VIÈTE.

Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó.

I. Định lý Viète cho phương trình bậc hai.

1. Bài toán mở đầu.

Xét phương trình bậc hai:   2 0 1 y ax bx c a     .

Giả sử: 2 4 0 b ac    .

Ta có:

1

2

2

2

b x a

b x a

    

    

là hai nghiệm tổng quát của phương trình 2 0 ax bx c    .

Khi đó:  

1 2

2 2 2

1 2 2 2

2 2

4 . 2 2 4 4

b b b S x x a a a

b b ac b b b c P x x a a a a a

                        

.

2. Định lý Viète.

Extra Techniques

Định lý Viète

Nếu 1 2 , x x là hai nghiệm (trên trường số phức , có thể nghiệm đơn hoặc nghiệm kép)

của phương trình: 2 0 ax bx c    , thì:

1 2

1 2

b x x S a c x x P a

        

.

Chứng minh:

October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG]

3 Nghiên cứu định lý Viète và ứng dụng | ▫▪ mathvn.com

Giả sử: 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình 2 0 ax bx c    .

Khi đó, phương trình bậc hai  1 tương đương với phương trình    1 2 y a x x x x    .

Như vậy, ta có đẳng thức:    2

1 2 ax bx c a x x x x      .

Hay:   2 2

1 2 1 2 ax bx c ax a x x x ax x       .

Đồng nhất hệ số hai vế, ta thu được:   1 2 1 2

1 2

1 2

b x x b a x x a c c ax x x x a

                

(đpcm).

Như vậy, một câu hỏi được đặt ra: Liệu rằng có hay không một Định lý Viète tổng quát trên trường số thực cho một đa thức có bậc n?

Câu trả lời là có và xin được trình bày tiếp ở phần dưới đây.

II. Định lý Viète cho phương trình đa thức bất kỳ.

1. Bài toán mở đầu.

Xét phương trình bậc n theo ẩn x tổng quát như sau:

  1 1 1 0 ... , 0 2 n n n n n y a x a x a x a a        

Giả sử: , 1, ix i n  là n nghiệm của phương trình 1 1 1 0 ... 0 n n n n a x a x a x a        .

Khi đó, phương trình bậc n …