Dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai và ứng dụng - Trần Văn Toàn

Mục lục

Chương 1 Dấu của đa thức 2

1.1 Dấu nhịthức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Dấu tích các nhịthức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Dấu thương các nhịthức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Ứng dụng xét dấu đểgiải bất phương trình . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Một sốphương trình và bất phương trình quy vềbậc hai . . . . . . . . 15 1.3.1 Phương trình và bất phương trình có chứa dấu giá trịtuyệt đối 15 1.3.2 Bất phương trình vô tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Dạng p

ax+ b + p

cx+ d ⩾k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 1.4.2 Dạng p

ax+ b + p

cx+ d ⩽k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 1.4.3 Dạng p

ax+ b − p

cx+ d ⩾k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 1.4.4 Dạng p

ax+ b − p

cx+ d ⩽k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

1

Chương 1

Dấu của đa thức

1.1 Dấu nhịthức bậc nhất

Định nghĩa 1.1. Nhịthức bậc nhất theo biến x là biểu thức có dạng f (x) = ax + b (a ̸= 0).

Định lí 1.1. Dấu f (x) = ax+ b cùng dấu a nếu x > −b

a và trái dấu a nếu x < b

a.

Ví dụ1.1. Xét dấu nhịthức f (x) = x−2.

Lời giải. Nghiệm của f (x) là x = 2. Bảng xét dấu.

x

x −2

−∞ 2 +∞

− 0 +

Từbảng xét dấu, ta có

• f (x) > 0 ⇔x ∈(2,+∞);

• f (x) < 0 ⇔x ∈(−∞,2).

□

Ví dụ1.2. Xét dấu nhịthức f (x) = 3−4x.

Lời giải. Nghiệm của f (x) là x = 3

4. Hệsốcủa x là −4.

Bảng xét dấu.

x

3 −4x

−∞ 3 4

+∞

+ 0 −

2

Từbảng xét dấu, ta có

• f (x) > 0 ⇔x ∈ µ −∞, 3

4

¶ ;

• f (x) < 0 ⇔x ∈ µ3

4,+∞ ¶ .

□

1.1.1 Dấu tích các nhịthức bậc nhất

Ví dụ1.3. Xét dấu f (x) = (x−2)(3−x).

Lời giải. Nghiệm của f (x) là x = 2 và x = 3. Bảng xét dấu.

x

x −2

3 −x

f (x)

−∞ 2 3 +∞

− 0 + +

+ + 0 −

− 0 + 0 −

□

Ví dụ1.4. Xét dấu của f (x) = (x+2)(x2 +5x+6).

Lời giải. f (x) = (x+2)2(x+3). Nghiệm của f (x) là x = −2 và x = −3. Chú ý là (x+2)2 ⩾0 với mọi x. Bảng xét dấu.

x

(x +2)2

x + 3

f (x)

−∞ −3 −2 +∞

+ + 0 +

− 0 + +

− 0 + 0 +

Từbảng xét dấu, ta có f (x) < 0 ⇔x ∈(−∞,−3); f (x) > 0 ⇔x ∈(−3,+∞)\{−2}. □

Trang 3/ 331 Trần Văn Toàn, THPT chuyên Lương ThếVinh, Đồng Nai

1.1.2 Dấu thương các nhịthức bậc nhất

Ví dụ1.5. Xét dấu f (x) = x+1

x−7.

Lời giải. f (x) = 0 với x = −1 và f (x) không xác định tại x = 7. Bảng xét dấu.

x

x + 1

x −7

f (x)

−∞ −1 7 +∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − −

□

Ví dụ1.6. Xét dấu của f (x) = 1 x+2 − 3 x+4.

Lời giải. Ta có

f (x) = − 2(x+1) (x+2)(x+4).

f (x) = 0 tại x = −1 và f (x) không xác định tại x = −2 và x = −4. Bảng xét dấu của f (x) như sau:

x

−2(x+1)

x + 2

x + 4

f (x)

−∞ −4 −2 −1 +∞

+ + + 0 −

− − 0 + +

− 0 + + +

+ − + 0 −

□

1.1.3 Ứng dụng xét dấu đểgiải bất phương trình

Ví dụ1.7. Giải bất phương trình (2x−3)(4−5x) > 0.

Lời giải. Đặt f (x) = (2x−3)(5−4x).

Nhận thấy rằng f (x) = 0 tại x = 3

2 hoặc x = 5

4.

Bảng xét dấu của f (x) như sau:

Trang 4/ 331 Trần Văn Toàn, THPT chuyên Lương ThếVinh, Đồng Nai