Phân dạng và bài tập bất phương trình bậc hai một ẩn

Chuyên đề: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Bài 3: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI-BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI PHẦN 1: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) là biểu thức dạng 2 ax bx c + + . Trong đó , , a b c là nhứng số cho

trước với 0 a ≠ .

Nghiệm của phương trình 2 0 ax bx c + + = được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai ( ) 2 f x ax bx c = + + ; 2 4 b ac ∆= − và 2 ' ' b ac ∆= − theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức

thu gọn của tam thức bậc hai ( ) 2 f x ax bx c = + + .

2. Dấu của tam thức bậc hai Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

( ) ( ) 2 , 0 f x ax bx c a = + + ≠

0 ∆< ( ) . 0, a f x x > ∀∈

0 ∆= ( ) . 0, \ 2a b a f x x   > ∀∈ −     

0 ∆>

( ) ( ) ( ) 1 2 . 0, ; ; a f x x x x > ∀∈−∞ ∪ +∞

( ) ( ) 1 2 . 0, ; a f x x x x < ∀∈

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai 2 ax bx c + +

• 2 0 0, 0 a ax bx c x R >  + + > ∀∈ ⇔∆< 

; • 2 0 0, 0

a ax bx c x R >  + + ≥ ∀∈ ⇔∆≤ 

• 2 0 0, 0

a ax bx c x R <  + + < ∀∈ ⇔∆< 

; • 2 0 0, 0

a ax bx c x R <  + + ≤ ∀∈ ⇔∆≤ 

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI. 1. Phương pháp giải. Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó. * Đối với đa thức bậc cao ( ) P x ta làm như sau

• Phân tích đa thức ( ) P x thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)

• Lập bảng xét dấu của ( ) P x . Từ đó suy ra dấu của nó .

* Đối với phân thức ( ) ( ) P x Q x (trong đó ( ) ( ) , P x Q x là các đa thức) ta làm như sau

• Phân tích đa thức ( ) ( ) , P x Q x thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)

• Lập bảng xét dấu của ( ) ( ) P x Q x . Từ đó suy ra dấu của nó.

2. Bài tập tự luận Ví dụ 1: Cho đồ thị của tam thức bậc hai ( ) f x . Hãy tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của ( ) f x

a)

b)

Lời giải: a) Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ 1; 3 x x = = nên ( ) f x có hai nghiệm phân biệt

1; 3 x x = = .

Từ đồ thị ta suy ra:

( ) 0 khi ( ;1) (3; ) ( ) 0 khi (1;3) f x x f x x > ∈−∞ ∪ +∞ < ∈

Do đó ta có bảng xét dấu của ( ) f x

x −∞ 2 3 +∞ ( ) f x + 0 − 0 | +

b) Đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ 2 x = nên ( ) f x có một nghiệm 2 x =

Từ đồ thị ta suy ra:

( ) 0, 2. ( ) 0 2. f x x f x x < ∀≠ = ⇔ =

x −∞ 1 +∞ ( ) f x - 0 −

Ví dụ 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau: a) 2 3 4 1 x x − + b) 2 2 1 x x + +

c) 2 3 2 x x − + − d) 2 1 x x − + − Lời giải:

a) Dễ thấy ( ) 2 3 4 1 f x x x = − + có 1 0, 3 0 a ′ ∆= > = > và có hai nghiệm phân biệt 1 2 1; 1 3 x x = = .

Do đó ta có bảng xét dấu  f x :

Suy ra ( ) 0 f x > với mọi ( ) 1 ; 1; 3 x   ∈−∞ ∪ +∞    

và ( ) 0 f x < với mọi 1;1 . 3 x   ∈   

b) ( ) 2 2 1 g x x x = + + có 0 ∆= và 1 0 a = > nên ( ) g x có nghiệm kép 1 x = − và ( ) 0 g x > với

mọi 1. x ≠−

c) Dễ thấy ( ) 2 3 2 h x x x = − + − có 1 0, 1 0 a ∆= > = −< và có hai nghiệm phân biệt 1 2 1; 2 x x = = .

Do đó ta có bảng xét dấu ( ) h x :

Suy ra ( ) 0 h x < với mọi ( ) ( ) ;1 2; x∈−∞ ∪ +∞ và ( ) 0 h x > với mọi ( ) 1;2 . x∈

d) ( ) 2 1 k x x x = − + − có 3 0 ∆= −< và 1 0 a = −< nên ( ) 0 k x < với mọi . x∈

Ví dụ 3: Xét dấu tam thức:

a) ( ) 2 5 6 f x x x = − + −

b) ( ) 2 2 2 5 f x x x = + + .

Lời giải:

a) ( ) f x có hai nghiệm phân biệt 1 2 2, 3 x x = = và có hệ số 1 0 a = −< .

Ta có bảng xét dấu ( ) f x

b)Tam thức có 9 0 ′ ∆= −< và hệ số 2 0 a = > nên ( ) 0, f x x > ∀∈

Ví dụ 4: Xét dấu biểu thức ( )

2

2 2 1 4 x x f x x − − = −

Lời giải:

Ta có

2 1 2 1 0 2 1

x x x x

= −  − −= ⇔= 

; 2 4 0 2 x x − = ⇔ = ±

Bảng xét dấu ( ) f x

Ví dụ 5: Tìm x để biểu thức : ( ) ( )( ) 2 2 3 6 9 f x x x x x = − − + nhận giá trị dương

Lời giải:

Ta có 2 2 0 3 0 3 x x x x =  − = ⇔= 

; 2 6 9 0 3 x x x − + = ⇔ =