Lý thuyết và bài tập mệnh đề tập hợp - Dương Phước Sang

cGV: Dương Phước Sang 1

MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. MỆNH ĐỀ 1. Mệnh đề: là một khẳng định hoặc là đúng hoặc là sai và không thể vừa đúng vừa sai.

Ví dụ: “2 + 3 = 5” là MĐ đúng. “ 2 là số hữu tỉ” là MĐ sai. “Mệt quá!” không phải là MĐ. 2. Mệnh đề chứa biến Ví dụ: Cho khẳng định “2 + n = 5”. Khi thay mỗi giá trị cụ thể của n vào khẳng định trên thì ta được một mệnh đề. Khẳng định có đặc điểm như thế được gọi là mệnh đề chứa biến. 3. Phủ định của một mệnh đề

Phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P là một mệnh đề thoả mãn tính chất

nếu P đúng thì P sai, còn nếu P sai thì P đúng.

Ví dụ: P: “3 là số nguyên tố”. P : “3 không là số nguyên tố”. 4. Mệnh đề kéo theo Mệnh đề “Nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒ Q.

Mệnh đềP ⇒ Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai. Ví dụ: Mệnh đề “1>2” là mệnh đề sai.

Mệnh đề “ 3 2 3 4 < ⇒ < ” là mệnh đề đúng. Trong mệnh đề P ⇒ Q thì P: gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q). Q: gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P). 5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P. Chú ý: Mệnh đề đảo của một đề đúng chưa hẵn là một mệnh đề đúng. Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh

đề tương đương nhau. Ký hiệu P ⇔ Q.

Chương

cGV: Dương Phước Sang 2

Cách phát biểu khác: + P khi và chỉ khi Q. + P là điều kiện cần và đủ để có Q. + Q là điều kiện cần và đủ để có P. 6. Ký hiệu ∀, ∃

∀: đọc là với mọi ∃: đọc là tồn tại

Ví dụ: ∀x ∈ R, x 2 ≥ 0: đúng ∃n ∈ Z, n2 – 3n + 1 = 0: sai

7. Phủ đỉnh của mệnh đề với mọi, tồn tại

Mệnh đề P: ∀x ∈ D, T(x) có mệnh đề phủ định là , ( ) x D T x ∃ ∈ .

Mệnh đề P: ∃x ∈ D, T(x) có mệnh đề phủ định là , ( ) x D T x ∀ ∈ . Lưu ý: Phủ định của “a < b” là “a ≥ b” Phủ định của “a = b” là “a ≠ b”

Phủ định của “a > b” là “a ≤ b” Phủ định của “a ⋮ b” là “a ⋮b ”

Ví dụ: P: ∃n ∈ Z, n < 0 : , 0 P n n ∀ ∈ ≥ ℤ

II. TẬP HỢP Cho tập hợp A. Nếu a là phần tử thuộc tập A ta viết a ∈ A.

Nếu a là phần tử không thuộc tập A ta viết a ∉ A. 1. Cách xác định tập hợp a. Cách liệt kê Viết tất cả phần tử của tập hợp vào giữa dấu {}, các phần tử cách nhau bởi dấu phẩy (,) Ví dụ: A = {1,2,3,4,5} b. Cách nêu tính chất đặc trưng Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó. Ví dụ: A = {x ∈ R|2x 2 – 5x + 3 = 0}

Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven.

A 2. Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào. Ký hiệu φ. : A x x A φ ≠ ⇔∃ ∈ 3. Tập hợp con của một tập hợp

cGV: Dương Phước Sang 3

, A B x A x B ⊂ ⇔∀ ∈ ∈ Chú ý: A A ⊂ A φ ⊂ , A B B C A C ⊂ ⊂ ⇒ ⊂ 4. Hai tập hợp bằng nhau: ,( ) A B x x A x B = ⇔∀ ∈ ⇔ ∈ III. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 1. Phép giao: A∩B = {x | x ∈A và x

∈B}

hay x A x A B x B

∈  ∈ ∩ ⇔∈ 

B A

2. Phép hợp: A∪B = {x | x ∈A hoặc x

∈B}

hay x A x A B x B

 ∈  ∈ ∪ ⇔ ∈ 

B A

3. Hiệu của hai tập hợp: A\B = {x |x

∈A và x ∉B} hay

x A x A B x B

 ∈  ∈ ∪ ⇔ ∈ 

A\ B

B A

4. Phần bù: Khi B A ⊂ thì A\B gọi là phần bù của B trong A. Ký hiệu

B A C

Vậy, B A C = A\B khi B A ⊂ .

A B

IV. CÁC TẬP HỢP SỐ: Tập số tự nhiên N = {0,1,2,3,4,5,6,…}, ngoài ra N* = N\{0}