Lý thuyết, các dạng toán và bài tập mệnh đề và tập hợp

Chương 1

MỆNH ĐỀ- TẬP HỢP

§1. MỆNH ĐỀ

I. Tóm tắt lí thuyết

1. Mệnh đề

Định nghĩa 1. Mệnh đềlogic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.

• Một mệnh đềkhông thểvừa đúng vừa sai.

• Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đềđúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đềsai.

△ ! Những điểm cần lưu ý.

• Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.

• Mệnh đềthường được kí hiệu bằng các chữcái in hoa. Ví dụ: Q:“6 chia hết cho 3”.

• Một câu mà chưa thểnói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉđúng hoặc sai, không thểvừa đúng vừa sai cũng là một mệnh đề. Ví dụ: “Có sựsống ngoài Trái Đất” là mệnh đề.

• Trong thực tế, có những mệnh đềmà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ởthời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ởthời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ởbất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trịchân lí đúng hoặc sai. Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học.

2. Mệnh đềchứa biến

Định nghĩa 2. Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trịcủa biến gọi là những mệnh đềchứa biến.

Ví dụ: Cho P(x) : x > x2 với x là sốthực. Khi đó P(2) là mệnh đềsai, P Å1

2

ã là mệnh đềđúng.

3. Mệnh đềphủđịnh

Định nghĩa 3. Cho mệnh đềP. Mệnh đề“Không phải P” được gọi là mệnh đềphủđịnh của P và kí hiệu là P.

11

12 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ- TẬP HỢP

• Mệnh đềP và mệnh đềphủđịnh P là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.

• Mệnh đềphủđịnh của P có thểdiễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đềP: “2 là sốchẵn”. Khi đó, mệnh đềphủđịnh của P có thểphát biểu là P: “2 không phải là sốchẵn” hoặc “2 là sốlẻ”.

4. Mệnh đềkéo theo và mệnh đềđảo

Định nghĩa 4. Cho hai mệnh đềP và Q. Mệnh đề“Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đềkéo theo.

• Kí hiệu là P ⇒Q.

• Mệnh đềkéo theo chỉsai khi P đúng Q sai.

• P ⇒Q còn được phát biểu là “ P kéo theo Q”, “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”. △ ! Chú ý

• Trong toán học, định lí là một mệnh đềđúng, thường có dạng: P ⇒Q. Khi đó ta nói P là giảthiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủđểcó Q, hoặc Q là điều kiện cần đểcó P.

• Trong logic toán học, khi xét giá trịchân lí của mệnh đềP ⇒Q người ta không quan tâm đến mối quan hệvềnội dung của hai mệnh đềP, Q. Không phân biệt trường hợp P có phải là nguyên nhân để có Q hay không mà chỉquan tâm đến tính đúng, sai của chúng.

Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ởchâu Âu” là một mệnh đềđúng. Vì ở đây hai mệnh đềP: “Mặt trời quay xung quanh trái đất” và Q: “Việt Nam nằm ởchâu Âu” đều là mệnh đềsai.

Định nghĩa 5. Cho mệnh đềkéo theo P ⇒Q. Mệnh đềQ ⇒P được gọi là mệnh đềđảo của mệnh đề P ⇒Q. △ ! Mệnh đềđảo của một mệnh đềđúng không nhất thiết là một mệnh đềđúng.

5. Mệnh đềtương đương

Định nghĩa 6. Cho hai mệnh đềP và Q. Mệnh đềcó dạng “P nếu và chỉnếu Q” được gọi là mệnh đềtương đương.

• Kí hiệu là P ⇔Q

• Mệnh đềP ⇔Q đúng khi cảhai mệnh đềP ⇒Q và Q ⇒P cùng đúng hoặc cùng sai. (Hay P ⇔Q đúng khi cảhai mệnh đềP và Q cùng đúng hoặc cùng sai)

• P ⇔Q còn được phát biểu là “P khi và chỉkhi Q”, “P tương đương với Q”, hay “P là điều kiện cần và đủđểcó Q”. △ ! Hai mệnh đềP, Q tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉnói lên rằng chúng có cùng giá trịchân lí (cùng đúng hoặc cùng sai). Ví dụ: “Hình vuông có một góc tù khi và chỉkhi 100 là sốnguyên tố” là một mệnh đềđúng.

6. Các kí hiệu ∀và ∃

• Kí hiệu ∀(với mọi): “∀x ∈X,P(x)” hoặc “∀x ∈X : P(x)”.

• Kí hiệu ∃(tồn tại): “∃x ∈X,P(x)” hoặc “∃x ∈X : P(x)”. △ ! Chú ý

• Phủđịnh của mệnh đề“∀x ∈X,P(x)” là mệnh đề“∃x ∈X,P(x)”.

• Phủđịnh của mệnh đề“∃x ∈X,P(x)” là mệnh đề“∀x ∈X,P(x)”.