Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 2019 sở GDĐT Hà Nam

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT

NĂM HỌC: 2018 - 2019

Môn: Toán – Lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút.

Câu 1. (5,0 điểm) 1. Cho hàm số   3 2 3 2 1 3 y mx mx m x m      (1), với m là tham số thực. Tìm tất cả

các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị Avà B sao cho khoảng cách từ

điểm 1 15 ; 2 4 I       đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hàm số x y x

2 1    có đồ thị ( ) C . Có bao

nhiêu điểm M thuộc trục Oy , có tung độ là số nguyên nhỏ hơn 2019 và thỏa mãn từ điểm

M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị ( ) C sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trụcOx ? Câu 2. (4,0 điểm) 1. Cho phương trình sau với m là tham số thực

     

2 2 2 2 2 2019 2019 2 1 2 .log 2 2011 1 . .log 2 2011 8 4 x x x x x x m x x                

.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực phân biệt thỏa mãn 1 1 3 x   .

2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

2 2

2 2 2

2

2019 1 1

18 25 9 9 4 2

1

x y x x y y

y x x x

y

Câu 3. (2,0 điểm) Tính tích phân  

4

0

cos sin sin 2 cosx 1 sin 2 1 sin 2

x x x x x I dx e x x



               .

Câu 4. (5,0 điểm) 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi , M N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh , AB AC sao cho mặt phẳng   DMN luôn vuông góc với mặt phẳng   ABC .

Đặt , AM x AN y . Tìm ,x y để tam giác DMN có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất. 2. Cho hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a ,

0 ' ' 60 BAD BAA A AD    . a) Tính thể tích khối hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D theo a . b) Gọi , , I J G lần lượt là trung điểm 'D, ,IJ A AB . Mặt phẳng  P đi qua G cắt các

cạnh ' , ' , ' A A A B A D lần lượt tại 1 1 1 , , A B D      , ,D A P B P P    . Gọi

1 1 1 1 1 1 1 1 1 . B. D. , , A A B D A B D A B D V V V

lần lượt là thể tích các khối chóp 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ,B. ,D. A AB D AB D AB D . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

1 1 1 1 1 1 1 1 1 . B. D. A A B D A B D A B D T V V V    theo a .

2

Câu 5. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm

    1; 1;0 , 0;1;0 A M  . Tìm tọa độ điểm H thuộc mặt phẳng : 2 0 P x y z    biết rằng

2 AH  và mặt phẳng   AMH vuông góc với mặt phẳng  P .

Câu 6. (2,0 điểm) Cho các số thực dương , , a b cthỏa mãn 2 (a c)(b c) 4c    . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

3 3

3 3 2 2 32 32 1 1 (a b 3 ). . ( 3 ) ( 3 ) a b P c b c a c a b       

Hết

Họ và tên thí sinh………………………Số báo danh………………………........................ Người coi thi số 1…………………… ..Người coi thi số 2.……………….........................