Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2022 - 2023 sở GDĐT Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

TOANMATH.com

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2022

Môn thi: TOÁN - Bảng: B

Ngày thi: 02/12/2022

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,5 điểm)

Cho hàm số   3 2 2 3 3 3 1 y x mx m x m m       có đồ thị  C và điểm   1;3 I  .

a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng   2022;.

b) Tìm các giá trị của tham số m sao cho  C có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị của  C cùng

với điểm I tạo thành một tam giác vuông tại I.

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Cho tam giác đều ABC. Trên mỗi cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy 4 điểm phân biệt và không điểm nào trùng với các đỉnh A, B, C. Hỏi lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp 15 điểm đã cho (tính cả các điểm A, B, C)?

b) Một người chọn ngẫu nhiên một số điện thoại, trong đó mỗi số có mười chữ số và ba chữ số đầu cố định là 099. Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số tiếp theo là các chữ số chẵn đôi một khác nhau, ba chữ số cuối là các số lẻ và tổng ba chữ số này bằng 9. Tính xác suất để người đó nhận được số điện thoại may mắn.

Câu 3. (5,5 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 3 AB  , 6 BC  , đường thẳng SA vuông góc với mặt

phẳng   ABCD . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho 1 3 BM BC  . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

  SAB bằng 45°.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.

c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SM và SC. Chứng minh hình chóp A.CMHK nội tiếp một mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó.

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc  45 . SAC     Mặt phẳng  P qua A và vuông góc với đường

thẳng SC cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính tỉ số diện tích của thiết diện và diện tích đáy ABCD theo . 

Câu 5. (3,0 điểm)

Giải hệ phương trình:   2 2 3 3

2

4 1 1 2

3 5 4 3 2 1

x y x y x

y x x

            

  ,x y.

Câu 6. (1,5 điểm)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 1 , , 1 3 a b c  . Chứng minh:

3 1 3 1 3 1 log log log 9 4 4 4 4 4 4 a b c b c a                         .

--------------- HẾT ---------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm./.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT NĂM HỌC 2022 - 2023

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (4.5 điểm)

Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 3 3 1 y x mx m x m m = − + − − + − có đồ thị ( ) C và điểm ( ) 1;3 I −

a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 2022;+∞.

b) Tìm các giá trị của tham số m sao cho ( ) C có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị

của ( ) C cùng với điểm I tạo thành một tam giác vuông tại I .

Lời giải a) Tập xác định D = 

( ) 2 2 3 6 3 1 y x mx m ′ = − + − −

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 3 6 3 1 0 2 1 0 * y x mx m x mx m ′ = ⇔− + − − = ⇔− + − − =

Ta có

2 2 2 1 1 0 b ac m m m ′ ′ ∆= − = − + = > ∀ ∈.

( ) * pt ⇒ có hai nghiệm phân biệt ⇒( ) C luôn có hai điểm cực trị.

1

2

1 0 1

x m y x m

= +  ′ = ⇔ = − 

Dễ thấy 1 2 x x >

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên ( ) 2022;+∞ khi và chỉ khi

1 2022 2021 m m + ≤ ⇔ ≤ Vậy 2021 m ≤ thỏa yêu cầu.

b) Hai điểm cực trị của ( ) C là ( ) ( ) 1;2 2 , 1;2 2 A m m B m m + + − − .

( ) ( ) 2;2 1 , ;2 5 IA m m IB m m + − −  

Theo giả thiết tam giác ABI vuông tại I

. 0 IA IB ⇔ = 

( ) ( )( ) 2 2 2 1 2 5 0 5 10 5 0 1 m m m m m m m ⇔ + + − − = ⇔ − + = ⇔ =

Vậy 1 m = .

Câu 2: (4.0 điểm)

a) Cho tam giác đều ABC . Trên mỗi cạnh , , AB BC CA lần lượt lấy 4 điểm phân biệt và …