Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 - 2024 trường THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ

TỔ TOÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 2023 - 2024

Môn: TOÁN – Khối: 11 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (6 điểm)

a) Giải phương trình: 2 2 2 6 12 7 0 x x x x − + − + = .

b) Giải hệ phương trình:

2 2 4

( 1) ( 1) 2

x y x y

x x y y y

 + + + =  + + + + = 

.

Câu 2. (5 điểm)

a) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 3 2 6 a b c + + = .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 H a b c abc = + + − .

b) Xét các số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 3 20. a b c + + ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 9 4 2 L a b c a b c = + + + + + ⋅

Câu 3. (4 điểm)

Tìm tất cả các hàm số : f →   thoả mãn:

( ) ( ) , f x y f x y x y + = + ∀ ∈ và 2 1 ( ) 0 f x f x x x  = ∀≠    

.

Câu 4. (5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy ; cho tam giác ABC. Tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC có tọa độ là ( ) 4;0 I , trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là 11 1 ; 3 3 G     

. Tìm tọa

độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng : 2 1 0 d x y + −=

và điểm ( ) 4;2 M là chân đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC ( M∈AC).

------------------ HẾT ------------------

ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2023-2024

Câu 1 Câu 2

a) Giải phương trình 2 2 2 6 12 7 0 x x x x − + − + = . Đặt

2 6 12 7, 0 T x x T = − + ≥

⇒

2 2 2 2 2 7 6 12 7 6(2x ) 7 2x 6 T T x x x x − = − + = − − + ⇒ − = − . Thay vào PT trên ta được

2 7 0 6 T T − + = −

2 6 7 0 T T ⇔ − − = 1( ) 7 T L T = −  ⇔ = 

Với 2 2 2 1 2 2 7 6 12 7 7 2 7 0 1 2 2

x T x x x x x

= − = ⇒ − + = ⇔ − − = ⇔ = + 

Kết luận PT trên có 2 nghiệm là 1 2 2, 1 2 2 x x = − = + .

b) Giải hệ phương trình

2 2 4

( 1) ( 1) 2

x y x y

x x y y y

 + + + =  + + + + = 

.

Hệ trên

2

2 ( ) 2 4

( ) 2

x y xy x y

x y xy x y

 + − + + = ⇔ + − + + = 

. Đặt , S x y P xy = + = ta được

2

2 0 1 2 4 ; 2 2 2

S S S P S P P S P S

= = −  − + =   ⇔    = − = − − + =   

+ 0 0 2 2 ; 2 2 2 2

S x y x x

P xy y y

  = + = = = −     ⇔ ⇔     = − = − = − =      

+ 1 1 1 2 ; 2 2 2 1 S x y x x P xy y y = − + = − = = −     ⇔ ⇔     = − = − = − =    

Kết luận PT trên có 4N là ( 2; 2),( 2; 2),(1; 2),( 2;1) − − − − .

a) Với bốn số a, b, x, y bất kỳ, ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 (1) ax by a b x y + ≤ + +

Áp dụng bất đẳng thức (1) , ta có

( ) ( )   = − + +  

2 2 2 2. 2 H a bc b c ( ) ( ) ( )   ≤ + − + +    

2 2 2 2 . 2 2 a bc b c ( ) ( ) ( ) = + + + 2 2 2 2 . 2 . 2 a b c

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + + + 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 .3 2 .2 2 6 a b c a b c

( ) ( ) ( )

3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 3 2 12 36 6 3 6 3

a b c a b c   + + + + +   + + +   ≤ = =        

Từ đó suy ra ≤ 2 36 H . Suy ra −≤ ≤ 6 6 H .

3

3

Câu 3

Mặt khác với = 2 a , = 0 b , =1 c thì + + = 2 2 2 3 2 6 a b c và = 6 H .

Với = −2 a , = 0 b , = −1 c thì + + = 2 2 2 3 2 6 a b c và = −6 H

Vậy = −6 MinH khi = −2 a , = 0 b , = −1 c .

= 6 MaxH khi = 2 a , = 0 b , =1 c .

b) Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

4 4 3 4 2 · 4 3, 4 a a a a a a   + ≥ = ⇒ + ≥    

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 a =

9 9 1 9 2 · 6 3, 2 b b b b b b   + ≥ = ⇒ + ≥    

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 b =

16 16 1 16 2 · 8 2, 4 c c c c c c   + ≥ = ⇒ + ≥    

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 c =

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được 3 3 9 4 8 4 2 4 2 a b c a b c + + + + + ≥ (1)

Mặt khác, do 2 3 20 a b c + + ≥ nên 3 5 4 2 4 a b c + + ≥ (chia hai vế cho 4) (2)

Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được 3 9 4 13. 2 L a b c a b c = + + + + + ≥

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2, 3, 4. a b c = = = Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu

thức L bằng 13, đạt được khi 2, 3, 4. a b c = = =

Ta có: ( ) ( ) ( ) (0) . f x y f x y f y f y y + = + ⇒ = + ∀∈ ( ) f x a x ⇒ = + với (0) a f = .

1 1 1 (0) 0. f f a x x x x  = + = + ∀≠    

Mặt khác 2 2 2 1 ( ) (0) …