Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 - 2024 trường THPT Lương Ngọc Quyến - Thái Nguyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2023-2024

MÔN TOÁN 11

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1. (6 điểm) Giải các phương trình sau

a. 3 cos2 sin 2 2cos 0 x x x − − = ;

b. ( ) cos2 1 sin 2 sin 1 0 1 tan 2 x x x x + + − = + .

Câu 2. (2 điểm) Biết ( ) 2 lim 4 1 1 x x ax bx →−∞ + + + = −. Tính giá trị biểu thức 2 3 3 P a b = − .

Câu 3. (4 điểm) Cho tập hợp { } 1;2;3;...;39;40 S = gồm 40 số tự nhiên từ 1 đến 40.

Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc tập S. Tính xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng.

Câu 4. (3 điểm) Dãy số ( ) nu được cho như sau:

( )

1 *

1

3 2 , 3 3 n n

u n N n u nu +

 =  ∈   + = 

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.

Câu 5. (5 điểm) Cho tứ diện ABCD

1) Gọi , , E F G lần lượt là trọng tâm của tam giác , , ABC ACD ABD .

a) Chứng minh ( ) ( ) / / EFG BCD .

b) Tính diện tích tam giác EFG theo diện tích tam giác BCD.

2) Gọi M là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD. Kẻ qua M đường thẳng

/ / d AB .

a) Xác định giao điểm ' B của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) ACD .

b) Kẻ qua M các đường thẳng lần lượt song song với AC và AD cắt các mặt phẳng

( ) ABD và ( ) ABC theo thứ tự tại ', ' C D . Chứng minh rằng ' ' ' 1 MB MC MD AB AC AD + + = .

-----------------------Hết-----------------------

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

Họ và tên thí sinh: ………………………………….Số báo danh……………………

SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG

MÔN: TOÁN 11

NĂM HỌC 2023-2024

Câu Nội dung Điểm

1

Giải các phương trình sau

a. 3 cos2 sin 2 2cos 0 x x x − − = ;

b. ( ) cos2 1 sin 2 sin 1 0 1 tan 2 x x x x + + − = + .

a.

3 cos2 sin 2 2cos 0 x x x − − =

1 cos2 sin 2 2cos cos2 sin 2 3 cos 2 2 3 x x x x x x ⇔ − = ⇔ − =

1,5

2 2 2 6 6 cos 2 cos , 2 6 2 2 6 8 3 1

x x k x k x x k x x k x k

π π π π π π π π π

  + = + = − +     ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈         + = −+ = − +    



Vậy PT có nghiệm là

( ) 3 2 2 ; 6 18 x k x k k π π π π = − + = − + ∈

1,5

b. ĐK:

cos 0 2 , tan 1 4

x k x k x x k

π π

π π

≠ +  ≠   ⇔ ∈   ≠−  ≠− + 



0,5

( ) ( ) 2 2 2 cos sin cos cos2 1 sin 2 sin 1 0 sin 2 sin 1 0 1 tan 2 cos sin

x x x x x x x x x x x

− + + − = ⇔ + + −= + +

1,0

2

2 2 2cos 2sin cos 2sin cos sin 1 0

2cos sin 1 0 2sin sin 1 0

x x x x x x

x x x x

⇔ − + + −=

⇔ + −= ⇔− + + =

0,5

2 2 sin 1 2 , 1 6 sin 2 7 2 6

x k x x k k x

x k

π π

π π

π π

= +  =     ⇔ ⇔ = − + ∈   = −   = + 



0,5

Kết hợp với điều kiện, PT có nghiệm là

7 2 ; 2 , 6 6 x k x k k π π π π = − + = + ∈ 0,5

2

Biết ( ) 2 lim 4 1 1 x x ax bx →−∞ + + + = −. Tính giá trị biểu thức 2 3 3 P a b = − .

TH1: b =2

( ) ( ) 2 2

2 1 lim 4 1 lim 4 1 2 lim 4 1 2 x x x ax x ax bx x ax x x ax x →−∞ →−∞ →−∞ + + + + = + + + = + + −

0,5

2

1

lim 1 4 4 1 1 4 2

x

a a x a a x x

→−∞

+ = = − = −⇒ = − + + −

0,5

2 3 8 3 4 .2 P ⇒ = − = − 0,5

TH2: 2 b ≠

( ) 2 2 , 2 1 lim 4 1 lim 4 , 2 x x b a x ax bx x b b x x →−∞ →−∞     +∞ <  + + + = − + + + =        −∞ >       

(không thỏa

mãn đầu bài ( ) 2 lim 4 1 1 x x ax bx →−∞ + + + = −)

0,5

3

Cho tập hợp { } 1;2;3;...;39;40 S = gồm 40 số tự nhiên từ 1 đến 40. Lấy ngẫu

nhiên ba số thuộc tập S. Tính xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng.

Ta có ( ) 40 n C Ω= 3 0,5