Đề thi Olympic Toán 11 năm 2023 - 2024 liên cụm trường THPT - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN LỚP 11 Ngày thi: 09/3/2024 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I ( 5 điểm) Cho phương trình cos2 3sin 4 0 x x m     với m là tham số thực. a) Giải phương trình khi 0. m 

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng ; . 2        

Câu II ( 4 điểm) Cho hàm số 

2

khi 1 4 4 . 1 3 khi 1 1

ax b x x f x

x x x x

           

a) Tính  1 lim . x f x  

b) Biết  3 1 , 4 f  tìm tất cả các cặp số thực ,a b để hàm số  f x liên tục tại 1. x 

Câu III ( 3 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó, các chữ số 1,2,3 đều xuất hiện 2 lần.

a) Tính số phần tử của tập hợp .S b) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc .S Tính xác suất để số đó là số chẵn. c) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc .S Tính xác suất để số đó có các chữ số giống nhau không

đứng cạnh nhau.

Câu IV ( 5 điểm) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , 60 , A B   . AB a  Đường

thẳng SB vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC và . SB a  Gọi , O E lần lượt là trung điểm của hai đoạn

thẳng BC và . AB a) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng SA và . CE Tính cos .  b) Một mặt phẳng song song với hai đường thẳng , , OA SB cắt các cạnh , , , AB SA SC BC của

hình chóp .S ABC lần lượt tại các điểm , , , . M N P Q Chứng minh tứ giác MNPQ là hình

thang. c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác . MNPQ

Câu V ( 3 điểm) Cho dãy số   nu được xác định bởi

1

2 1

3 . 3 4, 1,2,3,... n n n

u

u u u n 

       

a) Chứng minh 2, 1,2,3,... nu n  

b) Chứng minh   nu là dãy số tăng.

c) Chứng minh

1 2 2024

1 1 1 ... 1. 1 1 1 u u u       

-----------------HẾT----------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………….. Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN LỚP 11 Ngày thi: 09/3/2024 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Nội dung Điểm I a) Với 0 m  , phương trình đã cho trở thành cos2 3sin 4 0 x x   

2 2sin 3sin 5 0 x x    

1,0



sin 1

5 sin 2

x

x l

     

  2 . 2 x k k      

1,0

b)

Ta có

2 2sin 3sin 5 m x x   

Đặt sin t x  , khi ; 2 x        

thì  1;1 t  .

Xét hàm số 2 2 3 5 y t t    trên  1;1 t  .

1,0

Ta có Bảng biến thiên

t 3 1 1 4  

y

49

8

6 0

1,0

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng ; 2        

khi và chỉ khi

49 0 8 m   .

1,0

II a)

Ta có  1 1

1 3 lim lim 1 x x

x x f x x    

   

1,0

  

2

1 1 2 2 3 lim lim 4 1 3 1 1 3 x x x x x x x x x x              

1,0

b)

Hàm số  f x liên tục tại 1 x  khi và chỉ khi    1 1

3 lim lim 1 4 x x f x f x f       

 1

3 lim . 4 x f x    

1,0