Đề HSG Toán 11 năm 2023 - 2024 cụm trường THPT Gia Lâm Long Biên - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT GL - LB

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài I (4,0 điểm) Cho phương trình sin cos 2 cos sin 0. x x x x    1) Giải phương trình đã cho.

2) Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng   0;20 . 

Bài II (4,0 điểm)

1) Tính các giới hạn sau:

a) 2 1 1 1 lim 1 ... . 3 3 3n n

         

b)

3

2 1

7 3 1. lim 1 x

x x x 

   

2) Cho hàm số 

2 2 khi 1 1 4 khi 1

ax bx x f x x

x

         

.

Tìm tất cả các cặp số   ,a b để hàm số  f x liên tục tại 1. x 

Bài III (2,0 điểm) Giải bất phương trình    

2 1 8 2

2 log 1 log 3 log 3 0. x x x     

Bài IV (7,0 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm , O cạnh .a Đường

thẳng SA vuông góc với mặt phẳng  , 2. ABCD SA a 

1) Tính góc giữa hai đường thẳng AD và . SC 2) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh , , SB SC SD lần lượt tại các điểm , , . E F I Chứng minh đường thẳng IE song song với đường thẳng . BD

3) Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AF và . IE Tính tỉ số . AH

AF

4) Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh ,( CD M khác C và ). D Mặt phẳng qua M và vuông

góc với CD cắt các cạnh , SC SB lần lượt tại N và . P Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác

. MNP

Bài V (3,0 điểm) Cho dãy số   nu được xác định như sau:

1

1

1

3 2 , 1,2,3,... n n n

u

u u n 

      

1) Đặt 2 , 1,2,3,... n n n v u n    Chứng minh   nv là một cấp số nhân.

2) Tìm 1 2 ... lim . 3

n n n

u u u



  

- - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - Họ và tên thí sinh:...............................................Số báo danh:.............................................. Chữ kí CBCT 1: .............................................. Chữ kí CBCT 2: ..........................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT GL - LB

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN Bài Nội dung Điểm

Bài I (4,0 đ)

1) Giải phương trình sin cos 2 cos sin 0. x x x x    2,0 Ta có: sin cos 2 cos sin 0 x x x x      2 sin 2cos 1 cos sin 0 x x x x     

2 2sin cos cos 0 x x x   

0,5

 

cos 0 cos 2sin cos 1 0 sin 2 1

x x x x x

       

1,0

  2 .

4

x k

k x k

          

 0,5

2) Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng   0;2 .  2,0

Xét họ nghiệm   , 2 x k k     có   0;20 0 19 x k     0,5

Tương tự họ nghiệm   , 4 x k k     có   0;20 0 19 x k     0,5

Do đó tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng   0;20 là:

19 19

0 0 2 4 k k S k k

 

                  

0,5

19 .20 19 .20 2 2 4 4 395 . 2 2

                          0,5

Bài II (4,0 đ)

1) Tính các giới hạn sau:

a) 2 1 1 1 lim 1 ... 3 3 3n n

         

b)

3

2 1

7 3 1 lim 1 x

x x x 

   

2,0

a) Ta có

1

2 1

1 1 1 1 1 3 1 3 1 ... 1 1 3 3 3 2 3 1 3

n

n n





                   

0,5

Do đó 2 1 1 1 1 3 1 3 lim 1 ... lim 1 3 3 3 2 3 2 n n n n                      

0,5

b) Ta có

3 3

2 2 1 1 7 3 1 7 2 2 3 1 lim lim 1 1 x x x x x x x x              0,25