Đề thi HSG cấp trường Toán 10 năm 2020 - 2021 trường Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh

TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN

TỔ: TOÁN – TIN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 – 2021 LỚP 10

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. Giải các phương trình sau:

a)

4 2 3 4 0 x x    . b) 2 4 x x   . c) 2 2 1 1 5 x x x  .

Bài 2. Cho hàm số 2 1 y x mx    (m là tham số).

a) Lập bảng biến thiên của hàm số đã cho khi 4 m . b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng 1 y x   tại hai điểm

phân biệt nằm về một phía của trục hoành.

Bài 3. Cho hàm số 

2 y f x ax bx c     có đồ thị như hình vẽ bên.

a) Nêu các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho. b) Tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình   2 2 3 0 f x m f x m      có 6 nghiệm phân biệt.

Bài 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và , M N là hai điểm lần lượt thuộc hai cạnh , AB CD sao cho

6 , 3 AB BM DC DN   .

a) Tính độ dài của vectơ AB AD   

theo a . b) Chứng minh ba điểm M, N, G thẳng hàng. Bài 5. a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm   2;1 A ,   1;2 B  . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục

hoành sao cho MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3 nội tiếp đường tròn ( ) O . Điểm M thuộc ( ) O . Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức MA MB MC     

.

Bài 6. Cho hàm số 2 y ax bx c    có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chứng minh rằng phương trình

    2 1 2 1 0 c x b x a      luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài 7. Với   0;1 x , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   1 1 1 5 1

x x P x x

    



.

----------HẾT---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu, CBCT không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………………………………….Số báo danh:……………………………….

x

y

1

O

ĐỀ CHÍNH THỨC

x

y

-1

2 3

3

O 1

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 10

NĂM HỌC 2020 – 2021

Bài Ý Nội dung Điểm 1 a 2.0

Giải các phương trình sau:

2 4 2

2

1 3 4 0

4

x x x

x

       

1.0đ

2 4 2 x x    (Chỉ lấy 2 x  hoặc lấy thừa 1 x  trừ 0.5) 1.0đ

b 2.0

2

2 2 0 4

4

x x x

x x

      

.

1.0đ

0

2 2

x

x x

     

(Thiếu đk và không thử lại trừ 0.5)

1.0đ

c 1.0

2 2 1 1 5 x x x 

+ 0 x  không phải là nghiệm.

2 2 2 2

2 2

1 1 1 5( 0) 1 1 5

1 1 1 5( 0)

x x x x x x

x x x

        

     

.

Kết luận nghiệm

3 3

2 4

x

x

      

.

(Chỉ xét 1 t/h cho 0.25. Bình phương không thử lại trừ 0.5)

0.5đ

0.5đ

2 Cho hàm số 2 1 y x mx    (m là tham số).

a 1.5

Lập bảng biến thiên của hàm số đã cho khi 4 m .

Khi 4 m  hàm số trở thành 2 4 1 y x x   , có bảng biến thiên như sau:

(Sai mỗi chi tiết trừ 0.25)

0.25đ

1.25đ

b 2.0

Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng

1 y x   tại hai điểm phân biệt nằm về một phía của trục hoành.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

  2 0 1 1 1 0 1 x x mx x x x m x m          

.

0.5đ

+ 0.5đ

+∞ +∞

x

y

2 + ∞ ∞

3