Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 10 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2023-2024

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (6,0 điểm)

a) Giải phương trình ( )

2 2 2 3 1 2 1 10 3 6 x x x x + − = + − .

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol ( ) 2 : 3 2 P y x mx m = + + − , đường

thẳng ( ): d y x m = + (mlà tham số ) và hai điểm ( 1; 1), (2;2) A B −− . Tìm tất cả các giá trị

của m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt , M N sao cho , , , A B M N là bốn đỉnh của

một hình bình hành.

Câu 2. (5,0 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình sau có đúng 4 nghiệm

nguyên:

( )

2

2 10 21 0

2 1 4 2 0

x x

x m x m

 − + ≥  − + + − ≤ 

.

b) Gọi E là tập các ước nguyên dương của số 129600. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử của tập E. Tính số cách chọn để tích của chúng là một số chia hết cho 3.

Câu 3. (5,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC ∆ vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm ABM ∆ . Điểm ( ) 7; 2 D − nằm trên đoạn MC sao cho . GD GA = Cho biết điểm Acó hoành độ nhỏ hơn 4 và đường thẳng AG có phương trình

3 13 0 x y − − = . Tìm tọa độ điểm A và viết phương trình đường thẳng AB .

b) Cho tam giác ABC cân tại A và có trực tâm H nằm trên đường tròn nội tiếp của tam giác. Tính cos A.

Câu 4. (2,0 điểm)

Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 4 y x x a = + + trên đoạn

[ ] 1;3 . Tìm tất cả các giá trị của a để 2 34 M m + = .

Câu 5. (2,0 điểm)

Có bao nhiêu cách tô màu các cạnh của lục giác lồi ABCDEF sao cho mỗi cạnh được tô bởi một trong sáu màu khác nhau và hai cạnh kề nhau (chung đỉnh) thì khác màu?

---------------------------HẾT---------------------------- - Thí sinh không được sử dụng tài liệu; - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh: …………………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2023-2024 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 10 Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều cho điểm tương ứng

Câu Nội dung Điểm Câu 1a

2,5 điểm

Điều kiện xác định: 2 1 2 1 0 2 x x −≥ ⇔ ≥ 0,75

Phương trình đã cho tương đương ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 2 1 4 2 1 2 3 2 x x x x x + −= − + + − 0,75

Đặt ( ) 2 2 1 0 t x t = − ≥ ta có ( ) 2 2 4 2 3 1 2 3 2 0 t x t x x − + + + − = (1)

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ' 3 1 4 2 3 2 6 9 3 x x x x x x ∆= + − + − = − + = − .

Khi đó ( )

3 1 3 2 1 4 2 1 3 1 3 2 4 2

x x x t

x x x t

+ + − − = =  ⇔ + − + + = = 

0,5

*) Với ( ) ( )

2 2

2 2

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 4 2 1 2 1

x x x x x x x

≥ −  −= ⇔ −= −⇔  − = − 

2

1 1 1 6 2 2 2 1 6 4 4 5 0 2

x x x x x x

≥   ≥ −+   ⇔ ⇔ ⇔ =   −±   + − = =  

(TMĐK)

0,25

*) Với ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 4 2 1 2

x x x x x x x

≥−  +  −= ⇔ −= + ⇔ − = + 

2

2 2 2 2 15 2 2 15 7 7 4 8 0 7

x x x x x x

≥−  ≥−  ±  ⇔ ⇔ ⇔ =   ± − − = =  

Đối chiếu đk ta được nghiệm 2 2 15 7 x + = , 2 2 15 7 x − = , 1 6 2 x −+ =

0,25

Câu 1b

3,5 điểm

Phương trình hoành độ giao điểm:

2 ( 1) 2 2 0 x m x m     

0,75

ĐK phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2 1 0 10 9 0 9

m m m m

          

0,75

Phương trình đường thẳng AB: y x  .

Gọi 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ) M x x m N x x m   , Theo Vi-ét 1 2 1 2 1; 2 2 x x m x x m      0,75

Nhật xét AB cùng phương với d và 3 2 AB = 0,5

Do 4 điểm A,B,M,N là 4 đỉnh của một hình bình hành nên

2 0 2( 10 9) 3 2 10

m MN AB m m m

          

0,5