Đề thi Olympic Toán 10 năm 2023 - 2024 liên cụm trường THPT - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN 10 Ngày thi: 09/3/2024 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I (4,0 điểm)

Cho hàm số 2 2 2 1 y x mx m     có đồ thị  P (m là tham số).

1) Chứng minh với mọi 1, m  đồ thị  P luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

2) Gọi , A B là hai giao điểm phân biệt của đồ thị  P với trục hoành,C là giao điểm

của đồ thị  P với trục tung và G là trọng tâm của tam giác ABC . Tìm tập hợp

trọng tâm G của tam giác ABC khi m thay đổi. Câu II (5,0 điểm)

1) Giải phương trình 2 2 11 23 4 1. x x x     2) Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha. Để chăm

bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.

Câu III (4,0 điểm)

Cho tập hợp   0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 . A

1) Từ tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

2) Từ tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau

và ba chữ số chẵn khác nhau, mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần? Câu IV (4,0 điểm)

Cho điểm A di động trên nửa đường tròn tâm O, đường kính 3 BC cm  ( A không trùng , B C ). 1) Gọi E là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho 3 AB AE  . Hãy biểu thị các vectơ ; AO CE theo hai vectơ AB và AC . Chứng minh AO vuông góc với CE khi và chỉ khi

2 2 3 . AB AC  2) Với ; AC x AB y   và M là một điểm bất kì, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 18 . P MA x MB y MC    Câu V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , Oxy cho hình chữ nhật ABCD có 2 . AB BC  Điểm (1; 2) M là trung điểm của đoạn AB và   2; 1 N  là điểm thuộc đoạn CD thỏa mãn 3 . CN ND  1) Tính độ dài , . BC AN

2) Viết phương trình tổng quát đường thẳng . AD -----------------HẾT----------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh:……………………………………………………………Số báo danh:……………….. Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10 NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: Toán Ngày thi: 09/3/2024 HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điểm

Câu I.1

2,0đ

Cho hàm số 2 2 2 1 y x mx m     có đồ thị  P (m là tham số).

1) Chứng minh với mọi 1, m  đồ thị  P luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân

biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  P và trục hoành là 2 2 2 1 0 x mx m    1 0,5

Để đồ thị  P cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B điều kiện cần và đủ là phương

trình 1 có hai nghiệm phân biệt

0,5

  2 2 1 0 m m       

2 1 0 m    1 m  . 0,5

Vậy, với 1 m  thì đồ thị  P cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. 0,5

Câu I.2

2,0 đ

2) Gọi , A B là hai giao điểm phân biệt của đồ thị  P với trục hoành,C là giao điểm

của đồ thị  P với trục tung ,…

Gọi C là giao điểm của đồ thị  P với trục tung, suy ra   0;2 1 C m .

Gọi   ;0 A A x ,   ;0 B B x . Ta có 2 A B x x m   .

0,5

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

2 0 2 3 3 3 0 0 2 1 2 1 3 3 3

A B C G

A B C G

x x x m m x

y y y m m y

                 

;

0,5

Từ đó suy ra 1 3 G G x y   hay 3 3 1 0 G G x y  .

Do 1 m  nên 2 3 G x  , 1 3 G y  .

0,5

Vậy, tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC khi m thay đổi là đường thẳng

:3x 3 1 0 y    bỏ đi điểm 2 1 ; 3 3      

. 0,5

CâuII.1

2,0 đ Giải phương trình: 2 2 11 23 4 1. x x x    

ĐK: 1 x . 2 (1) 2( 6 9) ( 1 4 1 4) 0 x x x x       

0,5