Đề học sinh giỏi Toán 10 cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GDĐT Hà Nam

Trang 1/2

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I. (5,0 điểm).

1. Cho hàm số

2 2 3 y x x = − −có đồ thị ( ) C và đường thẳng : d y mx m = − , với m là tham

số. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt có hoành

độ 1 2 , x x thỏa mãn 1 2

2 1

2 3 2 3 4 x m x m x x + + + + + = −.

2. Cổng vòm hoa tại một lễ cưới có hình dạng là đường parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng vòm hoa là

3,2m. Tại vị trí trên cổng vòm hoa có độ cao 2m so với mặt đất người ta thả một sợi dây chạm đất cách chân A của cổng vòm hoa một đoạn 1m (hình 1). Tính chiều cao của cổng vòm hoa (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu II. (4,0 điểm).

1. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến một hòn đảo ở vị trí D . Khoảng cách ngắn nhất từ D vào đất liền là 2 DC km = . Khoảng cách từ A đến C là 5km. Người ta chọn một vị trí ( điểm B ) nằm giữa

A và C để mắc đường dây điện từ A đến B , rồi từ B đến D (hình 2). Chi phí mắc mỗi km dây điện trên đất liền là

3000USD, chi phí mắc mỗi km dây điện ngầm dưới biển là

5000USD. Hỏi điểm B phải cách điểm A bao nhiêu km , biết tổng chi phí mắc dây điện nối từ vị trí A đến vị trí D theo cách trên là 23000USD .

2. Cho bất phương trình ( )( )

2 1 3 2 3 2 3 0 m x x x x + − − + − + ≥ , với m là tham số. Tìm tất

cả các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi [ ] 1;3 x∈− .

Câu III. (2,0 điểm).

Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Một chiếc bàn cần 1,5 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện. Một chiếc ghế cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện. Bộ phận lắp ráp có 3 công nhân, bộ phận hoàn thiện có 4 công nhân. Mỗi công nhân không làm việc quá 8 giờ một ngày và năng suất lao động của công nhân ở mỗi bộ phận đều như nhau. Thị trường luôn tiêu thụ hết sản phẩm của xưởng và lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn. Một chiếc bàn lãi 600 nghìn đồng, một chiếc ghế lãi 450 nghìn đồng. Hỏi trong một ngày, xưởng sản xuất cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn, bao nhiêu chiếc ghế để thu được tiền lãi cao nhất ?

Câu IV. (2,0 điểm).

Cho tập hợp { } 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 A = . Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

có 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số tự nhiên đó không chia hết cho số 5 nhưng luôn có mặt chữ số 1 và chữ số 5?

Hình 1

Hình 2

Trang 2/2

Câu V. (4,0 điểm).

1. Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh , , BC CA AB lần lượt lấy

các điểm , , N M P sao cho , 3 a BN = 2 , 3 a CM = AP x = ( ) 0 x a < < . Tìm giá trị của x theo a để

đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM .

2. Tại một tỉnh miền núi. Để tránh núi, đường đi phải vòng qua núi như mô hình ( hình 3). Biết

11 AB km = ; 10 BC km = ; 8 CD km = và  0 101 ABC = ;  0 145 BCD = . Tính khoảng cách giữa vị trí A và vị trí D (làm tròn đến hàng phần chục).

Câu VI. (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm ( ) 1;3 A . Biết

điểm ( ) 6;4 M thuộc cạnh BC và điểm 17 9 ; 2 2 N      

thuộc đường thẳng DC . Chứng minh ba điểm

, , A M N thẳng hàng. Tính tỉ số NC ND và xác định toạ độ các đỉnh , , B C D của hình vuông ABCD.

--- HẾT---

Họ và tên thí sinh:………………………....…Số báo danh:.....................................................

Người coi thi số 1………………………….....Người coi thi số 2…………….........................

Hình 3