Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 10 chuyên đợt 2 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỢT 2

Môn thi: TOÁN 10 (CHUYÊN) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 15/3/2024

Câu 1. (3,0 điểm)

Giải hệ phương trình

2 2 2 5 1

2 2 3 2 3

y x x y

y x y x y xy

 − = − −  − − − = + − 

.

Câu 2. (3,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập số thực  thoả mãn điều kiện ( ) 1 5 f = và

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 . . 4 x y f x y x y f x y xy x y − + − + − = − với mọi số thực ,x y .

Câu 3. (3,0 điểm)

a) Cho ,x y là hai số nguyên dương phân biệt bất kỳ, chứng minh rằng tích số ( ) ( ) . 16 16 x y x y + + không phải là lũy thừa nguyên dương của 2.

b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên ( ) ;x y của phương trình 3 3 2 8 x y xy − = + .

Câu 4. (5,0 điểm)

Cho hai đường tròn ( ) ; O R và ( ) ; O R ′ ′ với R R′ < , cắt nhau tại A và B sao cho  90 OAO′ = °. Đường thẳng OO′ cắt đường tròn ( ) ; O R tại , C D và cắt đường tròn ( ) ; O R ′ ′ tại , E F sao cho các điểm , , , , , C O E D O F ′ nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. Tia BE cắt đường tròn ( ) ; O R tại K (khác B) và cắt đoạn thẳng AC tại M . Tia BD cắt đường tròn ( ) ; O R ′ ′ tại L (khác B) và cắt đoạn thẳng AF tại N .

a) Chứng minh ba điểm , , A C L thẳng hàng.

b) Tính . . KE LN KM LD theo , R R′.

Câu 5. (3,0 điểm)

Có tất cả bao nhiêu cách lấy cùng lúc ba thẻ từ hộp đựng 20 thẻ được ghi số từ 1 đến 20 sao cho các số ghi trên ba thẻ đó là độ dài ba cạnh của một tam giác?

Câu 6. (3,0 điểm)

Cho ba số thực dương , , x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 1 1 1 x y z x y z P y z x xyz

  + +    = + + + −         

.

---------- HẾT ----------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Họ và tên thí sinh:......................................................; Số báo danh...........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỢT 2

HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN LỚP 10 (CHUYÊN)

(Bản hướng dẫn này gồm 06 trang)

Câu Nội dung Điểm

Câu 1. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình ( )

( ) 2 2 2 5 1 1

2 2 3 2 3 2

y x x y

y x y x y xy

 − = − −  − − − = + − 

3.0

Điều kiện: 5 2 x y x ≤ ≤ .

( )

( )

1 5 2 1 5 1 2 2 2

2 2 6 3 1 3

x y y x x y y x y x

y x x y

⇔ − = − + ⇔ − = + − + −

⇔ − = − −

0.25

0.5

Thay (3) vào (2) ta được:

2 2 6 3 1 3 2 3 x y y x y xy − −− − = + − ( ) 2 2 2 3 2 4 4 0 x y x y y ⇔ − + + + + =

( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 0 x y x y ⇔ − + + + =

0.5

2 2 2 2 2 2

x y y x y y x x

= +  = −   ⇔ ⇔ +   = − =  

0.5

• Với 2 y x = − , thay vào (3): 2 4 3 5 x x − = + (vô nghiệm). 0.5

• Với 2 2 y x = − , thay vào (3): 41 2 3 4 5 12 x x − = ⇔ = 29 6 y ⇒ = (thỏa mãn điều

kiện).

0.5

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: ( ) 41 29 ; ; 12 6 x y   =    

. 0.25

Trang 2/6

Câu 2. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập số thực  thoả mãn điều

kiện ( ) 1 5 f = và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 . . 4 x y f x y x y f x y xy x y − + − + − = − với mọi số thực ,x y . 3.0

Xét phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 . . , , 4 x y x y x y f x y x y f x y xy − ∀ ∈ − + − + − =  (1)

Thay 1 x y = = vào (1) ta được: ( ) 0 0 f = . 0.5

Đặt a x y = + và b x y = − , phương trình (1) viết lại:

( ) ( ) ( ) 2 2 . . , , b f a a f b a b ab a b − = − ∀ ∈ (2) 0.5

Với mọi 0, 0 a b ≠ ≠ , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b a b f f a b ⇔ = − − (3) 0.5

Thay , 1 a x b = = vào (3) ta được: ( ) ( ) 2 2 1 4 1 1 x x f f x = = − − 0.5

Do đó ( ) 3 4 , 0 f x x x x = + ∀≠ . Do ( ) 0 0 f = nên ( ) 3 4 , f x x x x = + ∀∈. 0.5

Thử lại, hàm ( ) 3 4 f x x x = + thỏa mãn điều kiện đề cho.

Vậy hàm cần tìm là ( ) 3 4 f x x x = + . 0.5