Đề HSG Toán 10 năm 2023 - 2024 cụm trường THPT Gia Lâm Long Biên - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT GL - LB

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi có 01 trang) Bài I (4,0 điểm) Cho hàm số 2 2 3 5 y x x   1 .

1) Lập bảng biến thiên của hàm số 1 .

2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số 1 cắt đường thẳng 4 y x m   tại hai

điểm phân biệt   1 1 ; A x y ,   2 2 ; B x y thỏa mãn 2 2 1 2 1 2 2 2 3 7 x x x x    .

Bài II (6,0 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) 4 5 2 3. x x   

b) 2 2 2 3 6 1 7. x x x x x       2) Một công ty điện tử sản suất hai loại máy tính trên hai dây chuyền độc lập (loại một và loại hai). Máy tính loại một sản xuất trên dây chuyền một với công suất tối đa 45 máy tính một ngày; máy tính loại hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất tối đa 80 máy tính một ngày. Để sản xuất một chiếc máy tính loại một cần 12 linh kiện và cần 9 linh kiện để sản xuất một máy tính loại hai. Biết rằng số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 linh kiện và tiền lãi bán một chiếc máy loại một là 2.500.000 đồng; tiền lãi khi bán một chiếc máy loại hai là 1.800.000 đồng. Hỏi trong một ngày công ty cần sản xuất mỗi loại bao nhiêu máy tính để tiền lãi thu được là nhiều nhất. (Giả thiết rằng tất cả các máy tính sản xuất ra trong ngày đều bán hết). Bài III (3,0 điểm) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng .a Gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho

2 3    BD BC và I là trung điểm của AD . Gọi E là điểm thoả mãn 2 5 AE AC   

.

1) Chứng minh ba điểm , , B I E là ba điểm thẳng hàng.

2) M là điểm tùy ý thuộc miền trong tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 P MA MB MC MB MC          

.

Bài IV (5,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm   2;4 A  và   8;4 B .

1) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 2 0. MA MB     

2) Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C . 3) Viết phương trình đường thẳng d song song với :3 4 20 0 x y     và cách điểm ( 2;4) A  một khoảng bằng 2.

Bài V (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn sin sin sin cos cos B C A B C   

và . 12 AB AC  . Gọi M

là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Tìm diện tích tam giác MBG .

- - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - Họ và tên thí sinh:...............................................Số báo danh:......................................... Chữ kí CBCT 1: ......................................... Chữ kí CBCT 2: ..........................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT GL - LB

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN

Bài Nội dung Điểm

Bài I (4,0 đ)

Cho hàm số 2 2 3 5 y x x   1 .

1) Lập bảng biến thiên của hàm số 1 .

2,0

Tập xác định: D . Các hệ số: 2 a  , 3 b , 5 c .

Tọa độ đỉnh: 3 2 4 Đ

b x a   ,  

2 3 3 49 2. 3. 5 4 4 8 Đ Đ y y x           

.

0,5

Vì 2 0 a   nên ta có

Hàm số nghịch biến trên khoảng 3 ; ; 4       

Hàm số đồng biến trên khoảng 3 ; 4       

0,5

Bảng biến thiên 1,0

2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số 1 cắt đường thẳng

4 y x m   tại hai điểm phân biệt   1 1 ; A x y ,   2 2 ; B x y thỏa mãn

2 2 1 2 1 2 2 2 3 7 x x x x    .

2,0

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 1 với đường thẳng

: 4 d y x m   : 2 2 3 5 4 x x x m     2 2 7 5 0 x x m      2

0,5

Đồ thị hàm số 1 và đường thẳng  d cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

phương trình  2 có nghiệm phân biệt 1x , 2x 0  89

8 m   .

0,5

Theo hệ thức Vi-et, có: 1 2

5 . 2 c m x x a

   , 1 2

7 2 b x x a    .

Khi đó 2 2 1 2 1 2 2 2 3 7 x x x x     

2 1 2 1 2 2 7 7 0 x x x x     

0,5

2 7 5 2. 7. 7 0 2 2

m           

7 70 0 m    10 m   (thỏa mãn 89

8 m  )

Vậy 10 m  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

0,5

Bài II (6,0 đ)

3) Giải các phương …