Đề thi Olympic Toán 10 năm 2023 - 2024 cụm Hoàn Kiếm Hai Bà Trưng - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT HOÀN KIẾM – HAI BÀ TRƯNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2023-2024

Môn Toán - Lớp 10 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm có 01 trang Bài I (4,0 điểm) Cho hàm số 2 4 5 y x x    có đồ thị . P

1) Lập bảng biến thiên của hàm số. 2) Chứng minh đường thẳng : 6 d y mx   luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt , A B có hoành độ

lần lượt là 1 2 , . x x Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 T x x   .

Bài II (6,0 điểm)

1) Giải phương trình

a) 2 3 4 2 10. x x x    

b) 1 4 ( 1)(4 ) 5. x x x x      

2) Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của

công ty) cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và , B trong

đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A được cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi công ty phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất, biết rằng xe A chỉ chở được tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng, xe B chở được tối đa

10 người và 1,5 tấn hàng.

Bài III (4,0 điểm) Cho tam giác , ABC có , , . BC a CA b AB c    Ký hiệu ah là độ dài đường cao xuất

phát từ đỉnh A và p là nửa chu vi của tam giác . ABC

1) Chứng minh   2 2 cos cos . b c a b C c B   

2) Chứng minh tam giác ABC cân nếu thỏa mãn điều kiện  . ah p p a  

Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và AB c  , AC b  , BC a  .

1) Chứng minh . . . 0 a IA b IB c IC       

. 2) Giả sử 3, 5 a b   . Tìm c để , IG IC  với G là trọng tâm ABC  .

Bài V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC  biết   2; 1 B  , đường thẳng chứa đường cao

và đường phân giác trong qua hai đỉnh ,A C có phương trình lần lượt là 3 4 27 0 x y    và 2 5 0 x y  .

1) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC và tìm tọa độ điểm . C 2) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng . AB

-----------------HẾT----------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh:……………………………………………………………Số báo danh:……………….. Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT HOÀN KIẾM – HAI BÀ TRƯNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2023-2024

Môn Toán - Lớp 10 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điể m Bài I.1

2,0đ

Cho hàm số 2 4 5 y x x    có đồ thị . P

1) Lập bảng biến thiên hàm số

1 0 a  . (P) có bề lõm quay lên trên. 0,5

Đỉnh   2;1 I 0,5

.

1,0

Bài I.2

2,0 đ

2) Đường thẳng : 6 d y mx   cắt  P tại hai điểm phân biệt , A B có hoành độ lần

lượt là 1 2 , x x .Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 T x x  

Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d :

2 4 5 6 x x mx     2 ( 4) 1 0 x m x     .

0,5

Do 1 0, ac  phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu 1 2 , x x với mọim R  0,5

Ta có 1 2 2

1

1 . 1 x x x x   . Suy ra 1 2 1 1 1 1

1 1 2 T x x x x x x        (do 1

1

1 , x x

cùng dấu) 0,5

Dấu “=” xảy ra khi 4. m  0,5

Bài II.1 4,0 đ

Giải phương trình:

a) 2 3 4 2 10 x x x    

 

2 2 2 10 0

2 10 3 4

x

x x x

         

0,5

2 2 5

4 40 100 3 4

x

x x x x

        

2

5

3 37 104 0

x

x x

      

0,5

5

8 8. 13

3

x

x x

x

        

0,5