Đề thi Olympic 3004 Toán 10 lần 28 năm 2024 trường chuyên Lê Quý Đôn - BR VT

SỞ GD-ĐT TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVIII – NĂM 2024

MÔN THI : TOÁN – KHỐI : 10

Thời gian làm bài : 180 phút

Đề thi gồm có 01 trang Lưu ý : Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ số thứ tự câu ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi.

Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Câu 1 (4,0 điểm). Cho hai đa thức 9 5 ( ) 4 P x x x x = − + − và 13 4 ( ) 4 2 4. Q x x x x = − + − Gọi 0x là một nghiệm thực

của đa thức ( ) P x .

a) Chứng minh 5 0 0 4. x < ≤

b) Chứng minh 6 5 0 2 ( ) 4. Q x < <

Câu 2 (3,0 điểm). Kí hiệu  là tập hợp các số nguyên. Tìm tất cả hàm số : f →   sao cho ( ) 5 1 4 f = và với

mọi số nguyên , m n thì ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . f m n f m n f m f n + + − =

Câu 3 (4,0 điểm). Xét hai số nguyên tố p, q thay đổi sao cho tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức

1 2 . 1 2 p q n p q n + + = + + Tìm tập hợp giá trị của biểu thức q p − .

Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn ( ) AB AC < có M là trung điểm . BC Giả sử đường tròn ( , ) M MA

cắt các đường thẳng , AB AC lần lượt tại , D E (khác ). A a) Chứng minh . . . BA BD CACE = b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt ( , ) M MA tại F (khác A ). Chứng minh các đường thẳng , BC DE và tiếp tuyến tại F của ( , ) M MA đồng quy. c) Gọi G là giao điểm của các đường thẳng , BE CD và L là điểm đối xứng của G qua . M Chứng minh  . LAC MAB = Câu 5 (4,0 điểm). Trên bảng có viết các số 1;2;3;...;2024 gồm 2024 số nguyên dương đầu tiên. Người ta thực hiện liên tiếp thao tác sau : mỗi lần chọn tùy ý hai số ,x y ở trên bảng sao cho 2 x y ≥ + rồi xóa hai số này đi và thay bởi hai số 1; 1. x y − + Nếu từ các số trên bảng mà không thể thực hiện được thao tác như trên, ta gọi đó là trạng thái dừng.

a) Chứng minh dù có thực hiện như thế nào theo quy luật trên thì sau hữu hạn thao tác cũng sẽ đạt được trạng thái dừng. b) Gọi S là số thao tác thực hiện để đạt trạng thái dừng. Tìm giá trị nhỏ nhất của .S

--------------HẾT-------------- Cán bộ coi thi KHÔNG giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: ................................................................. SBD: ............................................. Trường: ............................................................................ Tỉnh/TP: ......................................

SỞ GD – ĐT TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVIII – NĂM 2024

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN – KHỐI : 10 Câu 1 (4,0 điểm). Cho hai đa thức 9 5 ( ) 4 P x x x x = − + − và 13 4 ( ) 4 2 4. Q x x x x = − + − Gọi 0x là một nghiệm thực

của đa thức ( ) P x .

a) Chứng minh 5 0 0 4. x < ≤

b) Chứng minh 6 5 0 2 ( ) 4. Q x < <

Nội dung Điểm a) Do 0x là nghiệm của ( ) P x suy ra ( ) 8 4 0 0 0 0 4 1 0. x x x x = − + ⇒ >

Ta có 5 9 5 5 0 0 0 0 0 4 2 4 x x x x x + = + ≥ ⇒ ≤ .

2,0

b) Khi đó

12 4 8 4 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0

1 1 4 1 1 1 4 4 1 4 3 3 3 3 27 x x x x x x x x x x + + − + = ⇒ = = + + + ≥ >

12 6 0 0 13 4 2. 3 x x ⇒ > > ⇒ >

1,0

Mà 4 6 5 0 ( ) ( 1) ( ) 2 ( ) 4 Q x x P x x Q x = + + ⇒ < < (do 5 4 không phải là nghiệm của ( ) P x ). 1,0

Câu 2 (3,0 điểm). Kí hiệu  là tập hợp các số nguyên. Tìm tất cả hàm số : f →   sao cho ( ) 5 1 4 f = và với mọi

số nguyên , m n thì ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . f m n f m n f m f n + + − =

Nội dung Điểm Kí hiệu ( ) ; P m n là phép thế cặp số ( ) ; m n vào mệnh đề ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . f m n f m n f m f n + + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 0 0 0;0 2 0 2 0 . 0 1

f P f f f

=  ⇒ = ⇒ = 

0,5

Trường hợp 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0. ;0 2 2 0 0 f P m f m f m f m = ⇒ = = ∀ ∈ ⇒  vô lý. 0,5

Trường hợp 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1. 0; 2 0 f P n f n f n f f n f n f n n f = ⇒ + − = ⇒ − = ∀∈ ⇒  là

hàm chẵn.

( ) ( ) ( ) ( ) 5 ;1 1 1 . 2 P m f m f m f m m ⇒ + = − − ∀ ∈

0,5

Ta chứng minh ( ) 1 1 2 2 2

n n f n n   = + ∀∈      bằng quy nạp.

Thật vậy 0; 1 n n = = mệnh đề đúng.

0,5

Giả sử ( )

1 1 1 1 1 2 2 2

n n f n − −   − …