Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 10 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 05/4/2024 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

(Đề thi có 01 trang)

Câu I. (2,0 điểm) 1) Cho hàm số ( ) 2 2 2 2 y m x mx m = − + + + . Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến

trên khoảng ( ) 2; − +∞.

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol ( ) 2 : 2 2 3 P y x mx m = − − −, đường thẳng ( ): 2 d y x m = + .

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt , M N sao cho 10 2 MN = .

Câu II. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình ( ) 2 2 3 4 2 x x x x x − + = − ∈.

2) Giải hệ phương trình:

( )( ) ( )

2

3 3 3 6 2 2 1 , 4 1 3 1

x y y x y y x xy x y x

 + − = +  ∈  + + − + = +  .

Câu III. (2,0 điểm) 1) Một xưởng cơ khí có hai công nhân là An và Bình. Xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II . Mỗi sản phẩm loại I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm loại I thì An phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm loại II thì An phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể tham gia làm hai loại sản phẩm tại cùng một thời điểm. Biết rằng trong một tháng An không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng đó.

2) Cho tập hợp { } 1;2;3;4;5;6 A = . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số và chia hết cho 6 được

lập từ các chữ số thuộc tập A . Tính số phần tử của tập S . Câu IV. (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC đều cạnh a . Lấy các điểm , , M N P lần lượt nằm trên ba cạnh , , BC CA AB sao

cho 1 , 2 , ,0 3 BM BC AC AN AP x x a = = = < < . Tính x theo a để AM vuông góc với NP .

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D , 2 CD AB = . Gọi H là hình

chiếu của D trên AC và M là trung điểm HC , K là trực tâm tam giác ADM . Biết điểm D có hoành độ bằng

2 , phương trình đường thẳng DH và BM lần lượt là 2 6 0 x y + − = và 4 7 61 0 x y + − = . Tìm tọa độ điểm K .

3) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Gọi , , H E K lần lượt là chân

đường cao kẻ từ các đỉnh , , A B C . Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S và 0S . Biết G là trọng

tâm tam giác ABC và 0 3 1 4 S S − = . Tính độ dài đoạn OG .

Câu V. (1,0 điểm) Cho 3 số thực , , 1 a b c > thỏa mãn ( ) 2 2 2 2 a b c a b c + + ≤ + + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 1 1 1 4 4 4 a b c H a b b c c a − − − = + + + + +

- - - - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - - - - (Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: .................................................... Cán bộ coi thi số 1:....................................................

Số báo danh: ................................. Phòng thi: ......... Cán bộ coi thi số 2:....................................................

ĐỀ CHÍNH THỨC