Đề thi kèm đáp án chính thức kỳ thi Toán học Hoa Kỳ - AIME

MAA American Mathematics Competitions

40th Annual AIME II

American Invitational Mathematics Examination II Wednesday, February 16, 2022

INSTRUCTIONS 1. DO NOT OPEN THIS BOOKLET UNTIL YOUR COMPETITION MANAGER TELLS

YOU TO BEGIN. 2. This is a 15-question competition. All answers are integers ranging from 000 to 999, inclusive. 3. Mark your answer to each problem on the answer sheet with a #2 pencil. Check blackened

answers for accuracy and erase errors completely. Only answers that are properly marked on the answer sheet will be scored. 4. SCORING: You will receive 1 point for each correct answer, 0 points for each problem left

unanswered, and 0 points for each incorrect answer. 5. Only blank scratch paper, rulers, compasses, and erasers are allowed as aids. Prohibited

materials include calculators, smartwatches, phones, computing devices, protractors, and graph paper. 6. Figures are not necessarily drawn to scale. 7. Before beginning the competition, your competition manager will ask you to record your

name on the answer sheet. 8. You will have 3 hours to complete the competition once your competition manager tells you

to begin. 9. When you finish the competition, sign your name in the space provided on the answer sheet.

The MAA AMC Office reserves the right to disqualify scores from a school if it determines that the rules or the required security procedures were not followed.

The publication, reproduction, or communication of the problems or solutions of this competi­ tion during the period when students are eligible to participate seriously jeopardizes the integrity of the results. Dissemination via phone, email, or digital media of any type during this period is a violation of the competition rules.

A combination of your AIME score and your AMC 10/12 score is used to determine eligibility for participation in the USA (Junior) Mathematical Olympiad.

© 2022 Mathematical Association of America

Bài 1. Trong một buổi hòa nhạc có

5

12 người tham dự là người trưởng thành. Sau đó một xe buýt

chở thêm 50 người tới tham dự buổi hòa nhạc. Khi ấy

11

25 số người tham dự buổi hòa nhạc là người

trưởng thành. Hỏi sau khi xe buýt tới nơi, buổi hòa nhạc đó có ít nhất bao nhiêu người trưởng

thành tham dự?

Bài 2. Azar, Carl, Jon và Sergey là bốn vận động viên lọt vào vòng bán kết của một giải đấu tennis.

Họ sẽ được chọn ngẫu nhiên thành hai cặp để thi đấu. Những người chiến thắng ở mỗi cặp sẽ thi

đấu với nhau để quyết định người vô địch. Khi Azar thi đấu với Carl thì xác suất Azar chiến thắng

là

2

3. Khi Azar hoặc Carl thi đấu với Jon hoặc Sergey thì Azar hoặc Carl sẽ chiến thắng với xác

suất là

3

4. Giả sử rằng kết quả của mỗi trận đấu là độc lập với nhau. Gọi xác suất để Carl vô địch

giải đấu là

?

?, với ? và ? là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính ?+ ?.

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều có thể tích là 54, độ dài cạnh đáy là 6. Các đỉnh của hình chóp

nằm trên một hình cầu có bán kính là

?

?, với ? và ? là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

Tính ?+ ?.

Bài 4. Cho một số thực dương ? khác

1

20 và

1

2 thỏa mãn log20?(22?) = log2?(202?).

Giá trị của log20?(22?) có thể viết dưới dạng log10(

?

?), với ? và ? là các số nguyên dương nguyên

tố cùng nhau. Tính ?+ ?.

Bài 5. Đánh dấu 20 điểm phân biệt trên một đường tròn bằng các số từ 1 đến 20 theo chiều kim

đồng hồ. Mỗi cặp điểm có hiệu hai số là một số nguyên tố được nối bởi một đoạn thẳng. Tìm số

tam giác có cạnh là các đoạn thẳng trên và các đỉnh là các điểm đã cho.

Bài 6. Cho các số thực ?1 ≤ ?2 ≤ ∙∙∙ ≤ ?100 thỏa mãn |?1| + |?2| + ∙∙∙+ |?100| = 1 và ?1 +

?2 + ∙∙∙ + ?100 = 0. Giả sử giá trị lớn nhất của hiệu ?76 − ?16 có thể nhận được là

?

?, với ? và

? là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính ?+ ?.

Bài 7. Cho đường tròn bán kính 6 đơn vị tiếp xúc ngoài một đường tròn bán kính 24 đơn vị. Tìm

diện tích tam giác được giới hạn bởi ba đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho.