Giải Bài 6.26 trang 25 SGK Toán 9

Lời giải

Chứng minh:

Giả sử phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ (với $a \neq 0$) có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Theo định lí Viète, ta có:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$$

Xét tích $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$$a(x - x_1)(x - x_2) = a\big[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\big].$$

Thay $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ và $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ vào, ta được:
$$a\left[x^2 - \left(-\frac{b}{a}\right)x + \frac{c}{a}\right] = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right] = ax^2 + bx + c.$$

Vậy $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ (đpcm).

Áp dụng:

a) Phân tích $x^2 + 11x + 18$.

Xét phương trình $x^2 + 11x + 18 = 0$ (ở đây $a = 1,\ b = 11,\ c = 18$).

Ta có $\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 > 0$, nên $\sqrt{\Delta} = 7$.

Phương trình có hai nghiệm:
$$x_1 = \frac{-11 + 7}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{-11 - 7}{2} = -9.$$

Áp dụng kết quả trên với $a = 1$:
$$x^2 + 11x + 18 = \big(x - (-2)\big)\big(x - (-9)\big) = (x + 2)(x + 9).$$

Kiểm tra lại: $(x + 2)(x + 9) = x^2 + 9x + 2x + 18 = x^2 + 11x + 18$ (đúng).

b) Phân tích $3x^2 + 5x - 2$.

Xét phương trình $3x^2 + 5x - 2 = 0$ (ở đây $a = 3,\ b = 5,\ c = -2$).

Ta có $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 > 0$, nên $\sqrt{\Delta} = 7$.

Phương trình có hai nghiệm:
$$x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \qquad x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2.$$

Áp dụng kết quả trên với $a = 3$:
$$3x^2 + 5x - 2 = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)\big(x - (-2)\big) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x + 2) = (3x - 1)(x + 2).$$

Kiểm tra lại: $(3x - 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2$ (đúng).

Đáp số