Giải Hoạt động 2 trang 22 SGK Toán 9

Lời giải

Nhắc lại kết quả HĐ1. Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ có biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac \ge 0$. Khi đó phương trình có hai nghiệm (có thể bằng nhau):

$$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.$$

a) Tính tổng $x_1 + x_2$.

Cộng hai nghiệm, hai số hạng $\sqrt{\Delta}$ và $-\sqrt{\Delta}$ ở tử triệt tiêu nhau:

$$x_1 + x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}.$$

b) Tính tích $x_1 x_2$.

Nhân hai nghiệm, tử số có dạng hằng đẳng thức $(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2$:

$$x_1 x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \dfrac{b^2 - \Delta}{4a^2}.$$

Thay $\Delta = b^2 - 4ac$:

$$x_1 x_2 = \dfrac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}.$$

Kết luận. Từ công thức nghiệm ở HĐ1, ta được

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}.$$

Đây chính là nội dung của định lí Viète áp dụng cho mọi phương trình bậc hai có nghiệm.

Đáp số