Giải Bài 6.20 trang 21 SGK Toán 9

Lời giải

a) $\sqrt{2}\,x^2 - \sqrt{5}\,x - 1 = 0$

Đây là phương trình bậc hai với $a=\sqrt{2},\ b=-\sqrt{5},\ c=-1$.

Tính biệt thức:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (\sqrt{5})^2 - 4\cdot\sqrt{2}\cdot(-1) = 5 + 4\sqrt{2} \approx 10{,}6569 > 0.$$

Vì $\Delta > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Dùng máy tính cầm tay:
$$x = \dfrac{\sqrt{5} \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}.$$

- $x_1 = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} \approx \dfrac{2{,}2361 + 3{,}2645}{2{,}8284} \approx 1{,}9447 \approx 1{,}94.$
- $x_2 = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} \approx \dfrac{2{,}2361 - 3{,}2645}{2{,}8284} \approx -0{,}3636 \approx -0{,}36.$

Vậy phương trình có hai nghiệm gần đúng $x_1 \approx 1{,}94$ và $x_2 \approx -0{,}36$.

b) $x^2 - (\sqrt{3}-1)x - \sqrt{7} = 0$

Đây là phương trình bậc hai với $a=1,\ b=-(\sqrt{3}-1),\ c=-\sqrt{7}$.

Tính biệt thức:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (\sqrt{3}-1)^2 - 4\cdot 1\cdot(-\sqrt{7}) = (4 - 2\sqrt{3}) + 4\sqrt{7} \approx 0{,}5359 + 10{,}5830 = 11{,}1189 > 0.$$

Vì $\Delta > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Dùng máy tính cầm tay:
$$x = \dfrac{(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{\Delta}}{2}.$$

- $x_1 = \dfrac{(\sqrt{3}-1) + \sqrt{11{,}1189}}{2} \approx \dfrac{0{,}7321 + 3{,}3345}{2} \approx 2{,}0333 \approx 2{,}03.$
- $x_2 = \dfrac{(\sqrt{3}-1) - \sqrt{11{,}1189}}{2} \approx \dfrac{0{,}7321 - 3{,}3345}{2} \approx -1{,}3012 \approx -1{,}30.$

Vậy phương trình có hai nghiệm gần đúng $x_1 \approx 2{,}03$ và $x_2 \approx -1{,}30$.

Kiểm tra lại: Với ý a), thay $x_1 \approx 1{,}94$: $\sqrt{2}\cdot 1{,}94^2 - \sqrt{5}\cdot 1{,}94 - 1 \approx 5{,}32 - 4{,}34 - 1 \approx -0{,}02 \approx 0$ (sai số do làm tròn). Với ý b), thay $x_1 \approx 2{,}03$: $2{,}03^2 - (\sqrt{3}-1)\cdot 2{,}03 - \sqrt{7} \approx 4{,}12 - 1{,}49 - 2{,}65 \approx -0{,}02 \approx 0$. Các nghiệm còn lại kiểm tra tương tự đều thỏa mãn.

Đáp số