Giải Bài 5.2 trang 40 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tìm toạ độ $C$, $B'$, $D'$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành (mặt đáy) nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, suy ra $C=B+D-A$.

$$\overrightarrow{AB}=(-1;3;1),\quad \overrightarrow{AD}=(1;0;-2).$$

$$C=(1+(-1)+1;\,-1+3+0;\,3+1+(-2))=(1;2;2).$$

Các cạnh bên của hình hộp bằng và cùng hướng nên $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'}$ với
$$\overrightarrow{AA'}=A'-A=(-1;2;-1).$$

Do đó:
$$B'=B+\overrightarrow{AA'}=(0-1;\,2+2;\,4-1)=(-1;4;3),$$
$$D'=D+\overrightarrow{AA'}=(2-1;\,-1+2;\,1-1)=(1;1;0).$$

b) Viết phương trình mặt phẳng $(CB'D')$.

Với $C(1;2;2)$, $B'(-1;4;3)$, $D'(1;1;0)$, ta có hai vectơ chỉ phương:
$$\overrightarrow{CB'}=(-2;2;1),\qquad \overrightarrow{CD'}=(0;-1;-2).$$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
$$\vec{n}=\left[\overrightarrow{CB'},\overrightarrow{CD'}\right]=\big(2\cdot(-2)-1\cdot(-1);\ 1\cdot 0-(-2)\cdot(-2);\ (-2)\cdot(-1)-2\cdot 0\big)=(-3;-4;2).$$

Chọn $\vec{n}=(3;4;-2)$. Mặt phẳng $(CB'D')$ đi qua $C(1;2;2)$:
$$3(x-1)+4(y-2)-2(z-2)=0$$
$$\Leftrightarrow 3x+4y-2z-7=0.$$

Kiểm tra: thay $B'(-1;4;3)$: $-3+16-6-7=0$ ✓; thay $D'(1;1;0)$: $3+4-0-7=0$ ✓.

Đáp số