Giải Hoạt động 9 trang 38 SGK Toán 12

Lời giải

Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ lần lượt nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ và $\vec{n'} = (A'; B'; C')$ làm vectơ pháp tuyến. Theo định nghĩa, giá của vectơ pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng tương ứng.

Trường hợp $(\alpha) \parallel (\beta)$:

Vì hai mặt phẳng song song nên chúng có cùng phương (cùng "hướng" trong không gian). Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Do đó giá của $\vec{n}$ và giá của $\vec{n'}$ đều vuông góc với cả hai mặt phẳng, suy ra hai giá này song song với nhau. Vậy $\vec{n}$ và $\vec{n'}$ cùng phương.

Trường hợp $(\alpha) \equiv (\beta)$:

Khi hai mặt phẳng trùng nhau, mọi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng kia, nên giá của $\vec{n}$ và $\vec{n'}$ song song hoặc trùng nhau. Do đó $\vec{n}$ và $\vec{n'}$ vẫn cùng phương.

Kết luận:

Trong cả hai trường hợp, hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và $\vec{n'}$ cùng phương, tức là tồn tại số thực $k \neq 0$ sao cho
$$\vec{n'} = k\,\vec{n},$$
nghĩa là $A' = kA,\ B' = kB,\ C' = kC.$

Đáp số