Giải Hoạt động 8 trang 36 SGK Toán 12

Lời giải

a) Quan hệ giữa góc của hai mặt phẳng và góc giữa hai giá của $\vec{n},\ \vec{n'}$

Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n'}=(A';B';C')$ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\beta)$.

Theo định nghĩa, góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Mà giá của $\vec{n}$ vuông góc với $(\alpha)$, giá của $\vec{n'}$ vuông góc với $(\beta)$.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$, $(\beta)$ bằng góc giữa hai giá của hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và $\vec{n'}$ (cả hai góc đều nhận giá trị trong khoảng $[0^\circ;90^\circ]$).

Do đó nếu gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng thì:
$$\cos\varphi=|\cos(\vec{n},\vec{n'})|=\dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{n'}|}{|\vec{n}|\,|\vec{n'}|}=\dfrac{|AA'+BB'+CC'|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\,\sqrt{A'^2+B'^2+C'^2}}.$$

b) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng $90^\circ$, tức là khi và chỉ khi hai giá của $\vec{n}$ và $\vec{n'}$ vuông góc với nhau, nghĩa là:
$$\vec{n}\perp\vec{n'} \iff \vec{n}\cdot\vec{n'}=0.$$

Diễn đạt theo tọa độ:
$$(\alpha)\perp(\beta)\iff AA'+BB'+CC'=0.$$

Đáp số