Giải Luyện tập 8 trang 36 SGK Toán 12

Lời giải

Cách 1: Dùng cặp vectơ chỉ phương để tìm vectơ pháp tuyến.

Ta có ba điểm $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $a,b,c \neq 0$ nên $A,B,C$ phân biệt và không thẳng hàng, xác định mặt phẳng $(\alpha)$.

Hai vectơ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$:
$$\overrightarrow{AB} = (-a;\, b;\, 0), \qquad \overrightarrow{AC} = (-a;\, 0;\, c).$$

Mặt phẳng $(\alpha)$ nhận làm vectơ pháp tuyến tích có hướng của hai vectơ trên:
$$\vec{n} = \left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right] = \big(b\cdot c - 0\cdot 0;\ 0\cdot(-a) - (-a)\cdot c;\ (-a)\cdot 0 - b\cdot(-a)\big) = (bc;\, ac;\, ab).$$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A(a;0;0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (bc;\, ac;\, ab)$ nên có phương trình:
$$bc(x - a) + ac(y - 0) + ab(z - 0) = 0,$$
$$bc\,x + ac\,y + ab\,z - abc = 0.$$

Vì $a,b,c \neq 0$ nên $abc \neq 0$; chia cả hai vế cho $abc$:
$$\frac{bc\,x}{abc} + \frac{ac\,y}{abc} + \frac{ab\,z}{abc} - 1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.$$

Vậy mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$ (đpcm).

Kiểm tra lại: Thay tọa độ ba điểm vào vế trái phương trình:

- Với $A(a;0;0)$: $\dfrac{a}{a} + \dfrac{0}{b} + \dfrac{0}{c} = 1$ (đúng).
- Với $B(0;b;0)$: $\dfrac{0}{a} + \dfrac{b}{b} + \dfrac{0}{c} = 1$ (đúng).
- Với $C(0;0;c)$: $\dfrac{0}{a} + \dfrac{0}{b} + \dfrac{c}{c} = 1$ (đúng).

Ba điểm $A$, $B$, $C$ đều thỏa mãn nên đây chính là phương trình mặt phẳng $(\alpha)$.

Đáp số